Aufgabe:
Text erkannt:
Es sei \( y \in \mathbb{R}_{>0 \text { gegeben. Wir betrachten folgende rekursive Definition einer Folge }} \)
$$ \begin{array}{l} x: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, n \mapsto\left(\begin{array}{l} a_{n} \\ b_{n} \\ c_{n} \end{array}\right) \\ x_{0}=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right), \quad x_{n+1}=\left\{\begin{array}{ll} \left(\begin{array}{c} 2 a_{n} \\ a_{n} \\ 0 \end{array}\right) & y>\left(a_{n}\right)^{2} \wedge c_{n}=0 \\ x_{n}+\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) & y \leq\left(a_{n}\right)^{2} \wedge c_{n}=0 \\ \left(\begin{array}{c} a_{n} \\ \left(a_{n}+b_{n}\right) / 2 \\ 1 \end{array}\right) & y>\left(\left(a_{n}+b_{n}\right) / 2\right)^{2} \wedge c_{n} \neq 0 \\ \left(\begin{array}{c} \left(a_{n}+b_{n}\right) / 2 \\ b_{n} \\ 1 \end{array}\right) & y \leq\left(\left(a_{n}+b_{n}\right) / 2\right)^{2} \wedge c_{n} \neq 0 \end{array}\right. \end{array} $$
- Geben Sie eine Vermutung für den Grenzwert an.
Überprüfen Sie ihre Vermutung für \( y=5 \).
Beweisen Sie, dass \( x_{n} \) gegen den von Ihnen vermuteten Grenzwert konvergiert.
-Wie viele Häufungspunkte besitzt \( x_{n} \) ?
Hinweis: Interpretieren Sie die Folge im Kontext einer Intervallschachtelung.
