Aufgabe:
Gegeben sind die beiden Syteme simultaner Kongruenzen
(1) x≡1 mod 4; x≡2 mod 6; x≡1 mod 9
(2) y≡1 mod 4; y≡1 mod 6;y≡1 mod 9
Bei beiden Systemen ist das Problem, dass die Moduln nicht paarweise teilerfremd sind und deshalb der chinesische Restsatz nicht angewandt werden kann.
Für (1) habe ich jetzt: ggT(4,6) = 2 und 2| 4-6=-2, sowie ggT (6,9) = 3 und 3|/ 2-1 (3 teilt 2-1 nicht), da es um die ganzen Zahlen geht. Damit kann ich doch für dieses System keine Lösung finden. Oder geht das doch?
Für (2) habe ich: ggT(4,6) = 2 und 2| 1-1=0, sowie ggT (6,9) = 3 und 3|1-1 =0. Damit kann man entsprechen der Rechenregeln für Moduln das System umschreiben, wobei es für die zweite Gleichung 2 Optionen gibt:
y≡1 mod 2
y≡1 mod 2 und y≡1 mod 3
y≡1 mod 3
Und da hier die beiden Optionen der zweiten Gleichung jeweils der ersten bzw. dritten Gleichung entsprechen, kann man die doch weg lassen, oder? Und dann habe ich mit dem chinesischen Restsatz die Lösung für die beiden Gleichungen berechnet, die dann y≡7 mod 6 ist, welches äquivalent zu y≡1 mod 6 ist.
Kann ich das so rechnen oder geht das nicht. Und kann man das System (1) wirklich nicht lösen?
Vielen Dank im Voraus!
