Zeige a), b) und c) bei euklidischen bzw unitären Vektorräumen

Question

Aufgabe:

Sei \( \mathbb{K}=\mathbb{R} \) oder \( \mathbb{C} \), sei \( V \) ein euklidischer bzw. unitärer Vektorraum. Für nichtleere Teilmengen \( M, N \subseteq V \) sei \( d(M, N):=\inf \{\|x-y\|: x \in M, y \in N\} \), der Abstand von \( M \) und \( N \).
(a) Sei \( 0 \neq w \in V \) und \( L:=\mathbb{K} w \). Zeige
\( d(v, L)^{2}=\frac{1}{\|w\|^{2}}\left(\|v\|^{2}\|w\|^{2}-|\langle v, w\rangle|^{2}\right) \)
für \( v \in V(\operatorname{mit} d(v, L):=d(\{v\}, L)) \).
(b) Für \( i=1,2 \) sei \( w_{i} \in V \) und \( U_{i} \subseteq V \) ein Untervektorraum. Für den Abstand der affinen Unterräume \( w_{i}+U_{i} \) von \( V \) gilt
\( d\left(w_{1}+U_{1}, w_{2}+U_{2}\right)=d\left(w_{1}-w_{2}, U_{1}+U_{2}\right) \)
(c) Berechne im \( \mathbb{R}^{3} \) den Abstand der beiden Geraden \( L_{i}=w_{i}+\mathbb{R} u_{i}(i=1,2) \) mit \( w_{1}=(1,2,0)^{t}, w_{2}=(2 a, 1, a)^{t}, u_{1}=(1,1, a)^{t}, u_{2}=(0,0,1)^{t} \) und einem
Parameter \( a \in \mathbb{R} \)

Text erkannt:

Sei \( \mathbb{K}=\mathbb{R} \) oder \( \mathbb{C} \), sei \( V \) ein euklidischer bzw. unitärer Vektorraum. Für nichtleere Teilmengen \( M, N \subseteq V \) sei \( d(M, N):=\inf \{\|x-y\|: x \in M, y \in N\} \), der Abstand von \( M \) und \( N \).
(a) Sei \( 0 \neq w \in V \) und \( L:=\mathbb{K} w \). Zeige
$$ d(v, L)^{2}=\frac{1}{\|w\|^{2}}\left(\|v\|^{2}\|w\|^{2}-|\langle v, w\rangle|^{2}\right) $$
für \( v \in V(\operatorname{mit} d(v, L):=d(\{v\}, L)) \).
(b) Für \( i=1,2 \) sei \( w_{i} \in V \) und \( U_{i} \subseteq V \) ein Untervektorraum. Für den Abstand der affinen Unterräume \( w_{i}+U_{i} \) von \( V \) gilt
$$ d\left(w_{1}+U_{1}, w_{2}+U_{2}\right)=d\left(w_{1}-w_{2}, U_{1}+U_{2}\right) $$
(c) Berechne im \( \mathbb{R}^{3} \) den Abstand der beiden Geraden \( L_{i}=w_{i}+\mathbb{R} u_{i}(i=1,2) \) mit \( w_{1}=(1,2,0)^{t}, w_{2}=(2 a, 1, a)^{t}, u_{1}=(1,1, a)^{t}, u_{2}=(0,0,1)^{t} \) und einem
Parameter \( a \in \mathbb{R} \).

Problem/Ansatz:

Hallo,

ich habe diese Aufgabe vor mir und habe leider absolut keinen Ansatz, wie ich voran komme. Deswegen frage ich hier um Hilf

Comments

Hallo,

für die erste Frage, Bestimmung von d(v,L) ist doch folgende Funktion nach unten abzuschätzen:

$$f(s):=\|v-sw\|, \text{  mit } s \in \mathbb{K}$$

oder einfacher, wie ja auch durch die Aufgabe nahegelegt:

$$f(s):=\|v-sw\|^2, \text{  mit } s \in \mathbb{K}$$ 

Berechne dazu f unter Ausnutzung der Eigenschaften des Skalarprodukts und versuche dann im reellen Fall f zu minimieren. Nimm das Ergebnis als Idee auch für den komplexen Fall.

Gruß Mathhilf