Matrizen, Ergebnismatrix, Lineare Algebra

Question

Gegeben seien folgende Matrizen A = (a_ij)_4,5 , B = (b_ij)_4,5 , C = (c_ij)_5,2 , D = (d_ij)_4,2 und F = (f_ij)_5,4. Welche der folgenden Ausdrücke sind definiert? Geben Sie, falls der jeweilige Ausdruck definiert ist, das Format der Ergebnismatrix an. 

1. B mal A

2. A mal C plus D

3. A mal F plus B

4. A mal B plus B 

5. F mal ( A plus B)

6. F mal (A mal C) 

7. F^T A

8. ( A^T plus F) mal D

Answer 1

- Das Produkt zweier Matrizen

C = A_i,j * B_m,n

ist genau dann definiert, wenn j = m gilt, wenn also die Spaltenzahl der linken Matrix gleich der Zeilenzahl der rechten Matrix ist. Das Produkt hat dann die Form C_i,n

- Die Summe zweier Matrizen

C = A_i,j + B_m,n

ist genau dann definiert, wenn gilt: i = m und j = n , wenn die Matrizen also die gleiche Zeilen- und die gleiche Spaltenzahl haben. Die Summe hat dieselbe Form wie A und B, also C_i,j

Aus diesen Überlegungen folgt:

1) B * A = B_4,5 * A_4,5  ist nicht definiert, da 5 ≠ 4

2) A * C + D = A_4,5 * C_5,2 + D_4,2 = ( A C )_4,2 + D_4,2 = G_4,2

3) A * F + B = A_4,5 * F_5,4 + B_4,5 = ( A * F )_4,4 + B_4,5 ist nicht definiert, da 4 ≠ 5

(Das Produkt A * F ist definiert, die Summe ( A * F ) + B jedoch nicht.

4) A * B + B = A_4,5 * B_4,5 ... ist nicht definiert, da 5 ≠ 4

5) F * ( A + B ) = F_5,4 * ( A_4,5 + B_4,5 ) = F_5,4 * ( A + B )_4,5 = H_4,5 ( Korrektur: H_5,5 )

6) F * ( A * C ) = F_5,4 * ( A_4,5 * C_5,2 ) = F_5,4 * ( A * C )_4,2 = K_5,2

7) F^T * A = ( F_5,4 )^T * A_4,5 = F^T_4,5 * A_4,5 ist nicht definiert, da 5 ≠ 4

8) ( A^T + F ) * D = ( ( A_4,5)^T * F_5,4 ) * D_4,2 = A^T_5,4 * F_5,4 ... ist nicht definiert, da 4 ≠ 5

Korrektur:

8) ( A^T + F ) * D = ( ( A_4,5)^T + F_5,4 ) * D_4,2 = ( A^T_5,4 + F_5,4 ) * D _4,2 = ( A^T + F )_5,4 * D _4,2 = L_5,2

Comments

Muss bei der 5.Aufgabe nicht H_5,5 stehen???

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Und die 8.Aufgabe ist definiert, oder??? Da ist ein Fehler...

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Muss bei der 5.Aufgabe nicht H_5,5 stehen???

Stimmt, da habe ich mich wohl vertippt (Kein wunder, bei sovielen Indexen :-) )

 

Und die 8.Aufgabe ist definiert, oder??? Da ist ein Fehler...

Stimmt auch, da habe ich versehentlich aus einer Addition eine Multiplikation gemacht ...
Richtig ist:

8) ( A^T + F ) * D = ( ( A_4,5)^T + F_5,4 ) * D_4,2 = ( A^T_5,4 + F_5,4 ) * D _4,2 = ( A^T + F )_5,4 * D _4,2 = L_5,2

Ich bitte um Entschuldigung für diese Flüchtigkeitsfehler ...