Ergebnismatrix bestimmen mit normierten Spaltenvektor

Question

Aufgabe:

Gegeben ist der normierte Spaltenvektor
a=1/6(4,4,2) und die damit definierte Matrix A=E-2a*a(Transponierte)
E ist die Einheitsmatrize.
Bestimme A,A^2,A^3,A^-1
Kann mir jemand zeigen, wie ich auf die  Ergebnissmatrizes komme?:)

Ich komme leider immer auf falsche Lösungen.

Answer 1

Aloha :)

Zuerst rechnen wir die Matrix \(A\) aus:$$A=E-2aa^T=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}-2\cdot\frac{1}{6}\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}\cdot\frac{1}{6}\begin{pmatrix}4 & 4 & 2\end{pmatrix}$$$$\phantom{A}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}-\frac{1}{18}\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4 & 4 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}-\frac{1}{18}\begin{pmatrix}16 & 16 & 8\\16 & 16 & 8\\8 & 8 & 4\end{pmatrix}$$$$\phantom{A}=-\frac{1}{18}\begin{pmatrix}16-18 & 16 & 8\\16 & 16-18 & 8\\8 & 8 & 4-18\end{pmatrix}=-\frac{1}{18}\begin{pmatrix}-2 & 16 & 8\\16 & -2 & 8\\8 & 8 & -14\end{pmatrix}$$$$\phantom{A}=-\frac{1}{9}\left(\begin{array}{rrr}-1 & 8 & 4\\8 & -1 & 4\\4 & 4 & -7\end{array}\right)$$

Oha, das sieht zunächst fürchterlich aus, aber nur so lange, bis wir \(A^2\) berechnet haben:$$A^2=\frac{1}{81}\left(\begin{array}{rrr}-1 & 8 & 4\\8 & -1 & 4\\4 & 4 & -7\end{array}\right)\left(\begin{array}{rrr}-1 & 8 & 4\\8 & -1 & 4\\4 & 4 & -7\end{array}\right)=\frac{1}{81}\left(\begin{array}{rrr}81 & 0 & 0\\0 & 81 & 0\\0 & 0 & 81\end{array}\right)=E$$

Damit sind wir fertig:$$A^2=E\quad;\quad A^3=A^2\cdot A=E\cdot A=A\quad;\quad A^{-1}=A$$