Zeigen, dass A invertierbar ist und um die inverse Matrix zu berechnen

Question

Wenden Sie das in Aufgabe \( 12.3 \) beschriebene Verfahren auf die Matrix

$$ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & -3 \\ 2 & 5 & 0 \end{array} \mid \in \operatorname{Mat}_{3}(\mathbb{Q})\right. $$

an, um zu zeigen, dass \( A \) invertierbar ist und um die inverse Matrix zu berechnen.

Zusatzfrage. Fassen Sie \( A \) nun als Matrix \( \bar{A} \) über dem endlichen Körper \( \mathbb{F}_{p} \) fïr eine Primzahl \( p \) auf. Für welche \( p \in \mathbb{H} \) ist \( \bar{A} \) invertierbar in \( \operatorname{Mat}_{3}\left(\mathbb{F}_{p}\right) \) ?

Comments

1. Welches Verfahren habt ihr denn in 12.3 kennengelernt? Das solltest du noch angeben, damit man wie verlangt danach vorgehen kann?

2. Brauchst du eventuell nur noch die Zusatzfrage? Eine Diskussion z Invertierbakeit bei einem 'modulo-Körper' vgl: https://www.mathelounge.de/12565/ist-die-matrix-invertierbar-in-z-3z-also-modulo-3

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https://www.mathelounge.de/84381/sei-n-%E2%88%88-n-und-a-%E2%88%88-mat-n-k-erlautern-sie

das ist die aufgabe 12.3 .das kann ich auch nicht machen : /

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ich hab versucht das inverse zu berechnen, habe aber komische brüche raus..:

27/19     10/19     15/19

-7/19      -4/19       -6/19

9/19         -3/19      5/19

kann das überhaupt sein?..

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Hab auch dasselbe raus nur sind bei mir die Spalten in anderer Reihenfolge, aber das ist ja egal. Man könnte natürlich die Probe machen, um sicher zu gehen, allerdings bin ich dafür zu faul. Punkte kriegste wahrscheinlich eh nur auf den Ansatz und darauf, dass du per Gauß Alg. die ursprüngliche Matrix in die Einheitsmatrix umwandelst.

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https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B1%2C1%2C2%7D%2C%7B1%2C0%2C-3%7D%2C%7B2%2C5%2C0%7D%7D

Die Spalten solltest du nicht vertauscht haben. Die Matrix im Link sollte stimmen. Bei der Berechnung der Inversen solltest du nur bestimmte Zeilenumformungen vornehmen und keine Spaltenvertauschungen.

Zur Zusatzfrage: https://www.wolframalpha.com/input/?i=inverse+%7B%7B1%2C1%2C2%7D%2C%7B1%2C0%2C-3%7D%2C%7B2%2C5%2C0%7D%7D+modulo+12

Ich hab da ein paar Zahlen (prim und nicht prim) getestet, habe bisher immer eine Inverse gefunden.

Answer 1

Das Inverse ist:

15/19    10/19    -3/19

-6/19      -4/19     5/19

5/19         -3/19    -1/19