Sei n ∈ N und A ∈ Mat n(K). Verfahren zur Überprüfung der Invertierbarkeit.

Question

Sei $n \in \mathbb{N}$ und $A \in \operatorname{Mat}_{n}(K)$. Erläutern Sie, warum folgendes Verfahren zur Überprüfung der Invertierbarkeit von $A$ und ggf. zu der Bestimmung der inversen Matrix $A^{-1}$ führt. Man modifiziere $A$ durch Hintereinanderausführung elementarer Zeilenumformungen, mit dem Ziel, $A$ in die Einheitsmatrix zu transformieren. Entsteht dabei eine Nullzeile, so ist $A$ nicht invertierbar. Erreicht man die Einheitsmatrix, so ist $A$ invertierbar und die gleichen Zeilenumformungen in derselben Reihenfolge angewandt auf die Einheitsmatrix liefern die inverse Matrix $A^{-1}$.