Bestimmen Sie die Hesse-Matrix…

Question

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Bestimmen Sie die Hesse-Matrix der Funktion
$$ f\left(x_{1}, x_{2}\right)=1 x_{1} x_{2}-2 x_{1}^{3}-4 x_{1}^{2} x_{2}-1 x_{1} x_{2}^{2}-3 x_{2}^{3} $$
an der Stelle \( \left(x_{1}, x_{2}\right)=(2,-2) \). Welchen Wert hat der Eintrag rechts oben?

Aufgabe:

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Im Internet finden sich viele Definitionen der Hessematrix. Auf YouTube kannst du dir auf bekannten Mathematik Channels Rechenbeispiele anschauen. Vielleicht solltest du das mal machen und dich dann bei Bedarf wieder mit einer konkreteren Fragestellung melden.

Wie man Polynome ableitet sollte aus der Schule bekannt sein.

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Wie schön dass du es lernen konntest.

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Ja finde ich auch. Und ich bin mir fast sicher, dass du es auch schaffen und lernen kannst. Und zwar sogar schneller, als du hier auf die vorgerechnete Lösung warten musst.

Answer 1

Aloha :)$$f(x;y)=xy-2x^3-4x^2y-xy^2-3y^3\quad;\quad(x_0;y_0)=(2;-2)$$Die ersten partiellen Ableitungen sind:$$\frac{\partial f}{\partial x}=y-6x^2-8xy-y^2\quad;\quad\frac{\partial f}{\partial y}=x-4x^2-2xy-9y^2$$Die zweiten partiellen Ableitungen sind:

$$\frac{\partial^2f}{\partial x^2}=-12x-8y\quad\implies\quad\frac{\partial^2f}{\partial x^2}(2;-2)=-8$$$$\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}=1-8x-2y\quad\implies\quad\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}(2;-2)=-11$$$$\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}=1-8x-2y\quad\implies\quad\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}(2;-2)=-11$$$$\frac{\partial^2f}{\partial y^2}=-2x-18y\quad\implies\quad\frac{\partial^2f}{\partial y^2}(2;-2)=32$$Die Hesse-Matrix an der Stelle \((2;-2)\) ist also:$$H(2;-2)=\begin{pmatrix}-8 & -11\\-11 & 32\end{pmatrix}$$

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Danke für die detaillierte Erklärung!

Answer 2

Hallo

da du nur den Eintrag rechts oben brauchst:

leite nach x ab, fx, dann fx nach y ableiten. das Ergebnis fxy steht rechts oben, jetzt nur noch (2,-2) einsetzen .

Aber sag nächstens genauer, was du an der einfachen Rechnung nicht kannst.

Gruß lul

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Ich hab es zwar so aufgebaut wie du es gesagt hast …

Aber die Lösung was raus kommt war immer falsch…

Danke für die Erklärung!