Konvergenz von Funktionsreihen, Ableitungen

Question

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Es geht um folgendes:

\( f_{0}(x)=\frac{\pi}{2}, \quad f_{n}(x)=-\frac{4}{\pi} \cdot \frac{\cos ((2 n-1) x)}{(2 n-1)^{2}} \quad(n \in \mathbb{N}) \)

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Zuerst soll die gleichmäßige Konvergenz der Funktionsreihe \(\sum \limits_{n=0}^{\infty} f_n\) auf \([-π,π]\) gezeigt werden.
Wie mache ich das? Ich habe das insgesamt noch nicht so verstanden...

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In der nächsten Frage ist bekannt, dass \(\sum \limits_{n=0}^{\infty} f_n'(x)\) eingeschränkt auf \((0,π)\) gleichmäßig gegen 1 konvergiert. Man soll nun \(\sum \limits_{n=0}^{\infty} f_n'(x) \text{ für } x ε(-π,0)\) berechnen. Wie geht das?

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Es soll untersucht werden, ob die Funktionenreihe \(\sum \limits_{n=0}^{\infty}f_n'\) gleichmäßig auf \([-π,π]\) konvergiert.
Wie untersucht man auf gleichmäßige Konvergenz bei Funktionenreihen?

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Als letztes soll die Grenzfunktion \(f:[-π,π] \text{ von } x \rightarrow \sum \limits_{n=0}^{\infty}f_n(x)\) bestimmt werden. Wie geht das?

Insgesamt habe ich das Thema einfach glaub ich nicht so verstanden, vielleicht kann mir hier jemand helfen / zeigen wie man vorgeht..

Vielen Dank schonmal!

Answer 1

Zum zuerst: Wegen | cos(...) | ≤ 1 für alles was bei ... steht ,

ist der punktweise Grenzwert jedenfalls immer 0.

Zur gleichmäßigen Konvergenz gegen die 0-Funktion musst du also nur zeigen:

Sei ε>0 dann gibt es ein N mit n>N ==>

             | f_n (x) - 0 | < ε für alle x∈ [-π , π].

Etwa so:         | f_n (x) - 0 | =  | -4/π  * cos( (2n-1)*x ) / (2n-1)^2 |

      wegen s.o.          ≤             4/π  *  1 / (2n-1)^2

Und das <   ε gesetzt gibt          4/π  *  1 / (2n-1)^2   < ε

                                   <=>     4/(πε)   < (2n-1)^2   alles positiv, also

                                   <=>   √( 4/(πε))  < 2n-1

                                   <=> ( √( 4/(πε)) + 1 ) / 2 < n

Und es gibt (Axiom des Archimedes ) sicherlich ein N, für welches

das gilt, und für alle größeren n also auch.   q.e.d.

Comments

Hallo,

fragt der Aufgabentext nicht nach der gleichmäßigen Konvergenz der Funktionen - Reihe?

Gruß Mathhilf