Seien \( m, n \in \mathbb{N} \). Eine Matrix \( A \in \operatorname{Mat}_{m, n}(K) \) hat Zeilenstufenform, falls die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
(ZSF1) Ist eine Zeile von \( A \) von Null verschieden, so ist der erste von 0 verschiedene Eintrag in dieser Zeile gleich 1. Die Position dieses Eintrags heißt dann Angelpunkt der Zeile.
(ZSF2) Von Null verschiedene Zeilen liegen allesamt oberhalb von Nullzeilen. Sind die ite und \( j \) te Zeile von Null verschieden und \( i<j \), dann erscheint der Angelpunkt der \( j \) ten Zeile in einer Spalte rechts von der des Angelpunktes der \( i \) ten Zeile.
Die Matrix \( A \) befindet sich in reduzierter Zeilenstufenform, falls zusätzlich gilt:
(ZSF3) Alle Einträge einer Spalte, in der ein Angelpunkt liegt, sind bis auf den Eintrag 1 im Angelpunkt selbst gleich \( 0 . \)
(1) Zeigen Sie per Induktion nach \( m: \) Jede Matrix \( A \in \operatorname{Mat}_{m, n}(K) \) lässt sich durch eine geeignete Anwendung von Zeilenumformungen in eine Matrix \( A^{\prime} \) überführen, die reduzierte Zeilenstufenform besitzt.
(2) Folgern Sie mit Hilfe von Aufgabe 12.1: Zu jeder Matrix \( A \in \) Mat \( _{m, n}(K) \) gibt es ein \( B \in \mathrm{GL}_{m}(K) \), so dass \( B A \) reduzierte Zeilenstufenform besitzt.
