Mit Hilfe welcher Elementarmatrizen M, P, E wurde Matrix B aus Aufgabe 7 in Zeilenstufenform gebracht?

Question

Hallo, während meiner Prüfungsvorbereitung komme ich bei folgender Aufgabe nicht weiter und bitte um die Lösung:

Aufgabe 7 (Zeilenstufenform, Ränge, Elementarumformungen) Bringen Sie die Matrix \( B \) in Zeilenstufenform und bestimmen Sie den Rang der Matrix \( B \).
\( B=\left(\begin{array}{cccc} 5 & 2 & 3 & 1 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & -2 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \end{array}\right) \)
Tipp: Vertauschen Sie zuerst die Zeilen 1 und 3.

Aufgabe 8 (Zeilenstufenform, Elementarumformungen) Mit Hilfe welcher Elementarmatrizen M, P, E wurde Matrix \( B \) aus Aufgabe 7 in Zeilenstufenform gebracht?

Vielen Dank im Voraus für die Hilfe.


Liebe Grüße

Sevi

Answer 1

\(\scriptsize \begin{array}{l}\left(\begin{array}{rrrr}0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right) \quad\left(\begin{array}{rrrr}5 & 2 & 3 & 1 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & -2 \\ 4 & 1 & 2 & 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & -2 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 5 & 2 & 3 & 1 \\ 4 & 1 & 2 & 3\end{array}\right) \\ \text { Zeile }_{1} \times \text { Zeile }_{3} \\\end{array} \)

\(\scriptsize \begin{array}{l}\left(\begin{array}{rrrr}1 & 0 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right) \quad\left(\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & -2 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 5 & 2 & 3 & 1 \\ 4 & 1 & 2 & 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -2 & 8 \\ 5 & 2 & 3 & 1 \\ 4 & 1 & 2 & 3\end{array}\right) \\ \text { Zeile }_{2}+=\text { Zeile }_{1}(-3) \\\end{array} \)

\(\scriptsize \left(\begin{array}{rrrr}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -5 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right) \\Zeile_{3}+= Zeile_{1}(-5) \)

\(\scriptsize \left(\begin{array}{rrrr}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -4 & 0 & 0 & 1\end{array}\right) \\Zeile_{4}+= Zeile_{1}(-4) \)

\(\scriptsize \begin{array}{l}\left(\begin{array}{rrrr}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1\end{array}\right) \quad\left(\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -2 & 8 \\ 0 & -3 & -2 & 11 \\ 0 & -3 & -2 & 11\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -2 & 8 \\ 0 & -3 & -2 & 11 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) \\ \text { Zeile }_{4}+=\text { Zeile }_{3}(-1) \\\end{array} \)

\(\scriptsize \begin{array}{l}\left(\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right) \quad\left(\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -2 & 8 \\ 0 & -3 & -2 & 11 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -2 & 8 \\ 0 & 0 & -8 & 35 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) \\ \text { Zeile }_{3}+=\text { Zeile }_{2} \text { (3) } \\\end{array} \)

\(\scriptsize\begin{array}{l}\text { Zeile }_{3}=\text { Zeile }_{3}(-\frac{1}{8}) \\ \text { Zeile }_{2}+=\text { Zeile }_{3}(2) \\ \text { Zeile }_{1}+=\text { Zeile }_{3}(-1) \\ \text { Zeile }_{1}+=\text { Zeile }_{2}(-1)\end{array} \)

https://www.geogebra.org/m/njtyusk8

Comments

Danke für die Lösung der Aufgabe. Ich habe fast alle Schritte genauso wie du, allerdings haben wir unterschiedliche Vorzeichen bei den Zahlen in der Klammer. Ich habe deshalb das folgende Ergebnis als (4x3) Matrix raus: (1  1  1  -2; 0  1  -2  4; 0  0  1  5; 0  0  0  0)

Wo hab ich den Fehler? Ich hab das so gelernt, wie ich es angewendet habe.

Vielen Dank im Voraus.

Liebe Grüße

Sevi

---

Flasch, du hast eine 4x4 Matrix ist auch bei Anwendung von Elementarmatrizen nicht anders möglich. Wo Dein Fehler liegt kann unmöglich wissen - ich weiß nur, Das mein Ergebnis richtig ist.

Ich für meinen Teil betrachte immer Zeilenadditionen und multipliziere entsprechend. Du berechnest wohl Differenzen - du hast auch keine Zeilenstufenform, da stehen zumindest 1 auf der Diagonale - so kenne ich es jedenfalls....