Eigenwerte und Eigenräume einer Matrix bestimmen

Question

Aufgabe: Berechnen Sie jeweils die Eigenwerte und die zugehörigen Eigenräume der folgenden Matrizen \( \left(a \in \mathbb{F}_{13}\right) \) :
\( A:=\left(\begin{array}{ccc} 0 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{(3,3)}, \quad B:=\left(\begin{array}{ccc} a-2 & 0 & a+2 \\ 0 & 2 a & 0 \\ a+2 & 0 & a-2 \end{array}\right) \in\left(\mathbb{F}_{13}\right)^{(3,3)} \)

Problem/Ansatz:

Zu A : ich habe die Eigenwerte ausgerechnet und bekomme λ₁=-1       λ₂=\( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \)        λ₃=\( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \)

Zu B: habe ich die Eigenwerte:  λ₁=-4, λ_2/3=2a

ist das soweit richtig?

Nun zum eigentlichen Problem: Wie rechne ich die Eigenräume?

Wie gehe ich vor?

Answer 1

A Eigenwerte richtig.

Betrachte dann für jeden Eigenwert das lineare Gleichungssystem

(A - λ*E)*x=0

also beim ersten

1  -1    1
-1   2   1 
0    0    0

bzw

1  -1    1
0    1    2
0    0    0

mit der Lösung: x3=t  und  x2=-2t   und x1 +2t + t = 0  gibt x1= -3t

also sehen alle so aus

-3t
 -2t
 t

bzw. .

      -3
t *    -2
       1

also ist

      -3
     -2
      1

eine Basis des Lösungsraumes = Eigenraum von -1.

Comments

ok hab ich verstaden:D

habe jetzt bei B die eigenwerte λ1= -4 und λ2= 2a raus

und kriege die Eigenräume E(-4)= t (-1 0 1) , E(2a)= t ( 0 1 0 ) +s (1 0 1 ) raus ist das soweit auch richtig ?