(an) genau dann gegen a konvergent, wenn es einen Index n0 so gibt, dass an = a für alle n ≥ n0 ist.

Question

Aufgabe:

Sei \((a_n)_{n\in \mathbb{N}}\) eine Folge mit \(a_n\in \mathbb{Z}\) für alle \(n\in \mathbb{N}\).

Beweisen Sie, dass \((a_n)_{n\in \mathbb{N}}\) genau dann gegen \(a\) konvergent ist, wenn es einen Index \(n_0\in \mathbb{N}\) so gibt, dass \(a_n = a\) für alle \(n\geq n_0\) ist.

Problem/Ansatz

Liebe Helfer, ich bin überfordert mit dieser Aufgabe. Es wäre schön, wenn mir jemand die Aufgabe plausibel und einen Lösungsvorschlag machen könnte. Vielen Dank!

Comments

Schau dir mal das ε-δ-Kriterium für Konvergenz an.

https://en.wikipedia.org/wiki/Limit_of_a_sequence#Formal_definition

Du hast eine konvergente Folge aus ganzen Zahlen. Du solltest dir erst überlegen, warum der Grenzwert eine ganze Zahl sein muss. Mach das per Widerspruch.

Jetzt wähle z.B. ε=1/2 und überlege dir, warum aus dem Kriterium folgt, dass die Folge stationär wird.

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Ok, das ist mal ein Einstieg. Danke, ich setze mich ran! :-)

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In meinem Kommentar ist ein δ zu viel. Ich meinte "ε-Kriterium".

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Ja, das hatte ich mir gedacht und es stillschweigend übersehen ;-) Danke nochmal