Zeigen Sie, dass eine obere Schranke a ein Supremum....

Question

könnte mir jemand diese Aufgabe lösen?

Aufgabe:
Sei A ⊂ R eine nach oben beschränkte Menge. Zeigen Sie, dass eine obere Schranke a ein Supremum
für A ist, wenn es eine Folge (a_n)_n∈N gibt mit a_n ∈ A für alle n ∈ N, welche gegen a konvergiert.
Bemerkung: Die entsprechende Aussage für das Infimum gilt natürlich auch, was man analog
beweist.

Answer 1

Sei a eine obere Schranke von A .

a ist sup(A) ==>  a ist die kleinste obere Schranke.

Betrachte für alle n ∈ ℕ das Intervall ] a-1/n ; a ] .

Dieses enthält immer ein Element von A; denn wären

alle Elemente von A kleiner oder gleich a-1/n , also

a-1/n auch eine obere Schranke für A, die aber kleiner

als a ist. Widerspruch zu :

a ist die kleinste obere Schranke.

Also kannst du aus jedem dieser Intervalle ein an ∈ A

wählen und erhältst eine Folge, die gegen a konvergiert.

Umgekehrt:  Sei (a_n)_n∈ℕ eine solche Folge und a eine obere Schranke.

Angenommen es gäbe eine kleinere obere Schranke b<a

dann gilt für ε= (a-b)/2 dass in ]a-ε;a+ε[ unendlich viele Glieder

der Folge (also Elemente von A) liegen, aber die sind alle größer

als b. Also kann b keine obere Schranke sein. Widerspruch!