Komme bei der Polynomdivison nicht weiter?

Question

Aufgabe

Wie rechne ich die Nullstellen aus:

f(x)=1/2x^3+3x^2-8 

Problem/Ansatz:

Ich wollte die Polynomdivison machen; aber irgendwie komme ich nicht weiter

Answer 1

Eine Nullstelle von f(x) ist x=-2.

(1/2x³+3x²-8):(x+2)=1/2x²+2x-4.

Answer 2

Aloha :)

$$f(x)=\frac{1}{2}x^3+3x^2-8=\frac{1}{2}\left(x^3+6x^2-16\right)$$Alle ganzzahligen Nullstellen des Polynoms müssen Teiler der Zahl ohne \(x\) sein, also von der \(-16\). Das sind \(\pm1,\pm2,\pm4,\pm8,\pm16\). Durch Probieren finden wir, dass \(x=-2\) eine Nullstelle ist. Wir müssen daher den Term \((x+2)\) ausklammern können.

$$f(x)=\frac{1}{2}\left(x^3+6x^2-16\right)=\frac{1}{2}\left(x^2(x+2)+4x^2-16\right)$$$$\phantom{f(x)}=\frac{1}{2}\left(x^2(x+2)+4x(x+2)-8x-16\right)=\frac{1}{2}\left(x^2(x+2)+4x(x+2)-8(x+2)\right)$$$$\phantom{f(x)}=\frac{1}{2}\left(x^2+4x-8\right)(x+2)$$Die Nullstellen der ersten Klammer liefert uns die pq-Formel:$$x_{1;2}=-2\pm\sqrt{4+8}=2-\pm\sqrt{12}=-2\pm2\sqrt3$$

Damit haben wir drei Nullstellen gefunden:$$x_0=-2\quad;\quad x_1=-2(1+\sqrt3)\quad;\quad x_2=2(\sqrt3-1)$$

~plot~ 0,5x^3+3x^2-8 ; [[-6|3|-10|10]] ~plot~