Produkt von Potenzen ableiten (x^2-1)^2*(x+5)^3

Question

(x²-1)²*(x+5)³ kann mir jemand helfen das abzuleiten...

Answer 1

Hi

(x^2-1)^2 * (x+5)^3 = u*v
u = (x^2-1)^2
u' = 4x(x^2-1)
v = (x+5)^3
v' = 3(x+5)^2

((x^2-1)^2 * (x+5)^3)' = (u*v)' = u'v + uv' =
4x(x^2-1) * (x+5)^3 + (x^2-1)^2* 3(x+5)^2 =
(x^2-1)(x+5)^2(4x(x+5)+3(x^2-1)) =
(x^2-1)(x+5)^2(7x^2 + 20x - 3)

Answer 2

Hallo pooja,

 

f(x) = (x² - 1)² * (x + 5)³

 

Dies abzuleiten ist rechenaufwändig, aber prinzipiell gar nicht so schwierig.

 

Zuerst die Produktregel:

(uv)' = u'v + uv'

u = (x² - 1)²

v = (x + 5)³

Also

f'(x) = [(x² - 1)²]' * (x + 5)³ + (x² - 1)² * [(x+5)³]'

 

Zur Ableitung der rot gekennzeichneten Terme brauchen wir die Kettenregel: Innere Ableitung * Äußere Ableitung

(x² - 1)²

Äußere Ableitung ist 2 * (x² - 1)

Innere Ableitung ist 2x

(x + 5)³

Äußere Ableitung ist 3 * (x + 5)²

Innere Ableitung ist 1

 

Also haben wir insgesamt

f'(x) = 2 * (x² - 1) * 2x * (x + 5)³ + (x² - 1)² * 3 * (x + 5)² * 1

Das kann man noch ein wenig umstellen und zusammenfassen:

f'(x) = 3 * (x + 5)² * (x² - 1)² + 4x * (x + 5)³ * (x² - 1)

 

Probe:

http://www.ableitungsrechner.net/#

 

Besten Gruß

Comments

ich hab aber als lösung das ich verstehe nur den weg nicht (x²-1)(x+5)(7x²+20x-3)

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So weit habe ich nicht vereinfacht!

Deine Lösung stimmt aber bis auf (x + 5) statt (x + 5)² mit der von gorgar überein - schau Dir bitte dessen Rechenweg einmal an :-)

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Ich probier es noch einmal:

f'(x) = 3 * (x + 5)² * (x² - 1)² + 4x * (x + 5)³ * (x² - 1)

(x² - 1) ausklammern:

(x² - 1) * [3 * (x + 5)² * (x² - 1) + 4x * (x + 5)³]

(x + 5)² ausklammern:

(x² - 1) * (x + 5)² * [3 * (x² - 1) + 4x * (x + 5)]

Eckige Klammer ausmultiplizieren

(x² - 1) * (x + 5)² * [3x² - 3 + 4x² + 20x]

(x² - 1) * (x + 5)² * [7x² + 20x - 3]

Das stimmt genau mit dem Ergebnis von gorgar überein - und auch mit Deinem, wenn man von dem Quadrat absieht - wahrscheinlich ein Tippfehler :-)

Answer 3

Wenn's mal gar nicht anders geht, dann multipliziere aus:

f ( x ) = ( x ² - 1 ) ² * ( x + 5 ) ³

= ( x ⁴ - 2 x ² +1 ) * ( x ³ + 15 x ² + 75 x + 125 ) 

= x ⁷ + 15 x ⁶ + 75 x ⁵ + 125 x ⁴ - 2 x ⁵ - 30 x ⁴ - 150 x ³ - 250 x ² + x ³ + 15 x ² + 75 x + 125

= x ⁷ + 15 x ⁶ + 73 x ⁵ + 95 x ⁴ - 149 x ³ - 235 x ² + 75 x + 125

und dann einfach nach Potenz- und Summenregel ableiten:

f ' ( x ) = 7 x ⁶ + 90 x ⁵ + 365 x ⁴ + 380 x ³ - 447 x ² - 470 x + 75

Wenn du f ( x ) nach anderen Regeln ableitest und dabei eine "kompaktere" Form der Ableitung erhältst, dann kannst du diese ausmultiplizieren und mit der Ableitung, die du aus der ausmultiplizierten Form von f erhältst, vergleichen.