Welcher Vektor ist der Nullvektor von V?

Question

Es sei \( V:=\left\{v \in \mathbb{R}^{2}|| v \mid=1\right\} . \) Somit können alle \( v \in V \) dargestellt werden als
v=\( \begin{pmatrix} cos(phi)\\sin(phi) \end{pmatrix} \).

Für Vektoren v1=\( \begin{pmatrix} cos(phi1+phi2)\\sin(phi1+phi2) \end{pmatrix} \) €V
definieren wir eine Addition durch
v1+v2= \( \begin{pmatrix} cos(phi1+phi2)\\sin(phi1+phi2) \end{pmatrix} \).
Für Skalier s€R definieren wir eine Multiplikation mit Vektoren v1€V durch
s*v1=\( \begin{pmatrix} cos(s*phi1)\\sin(s*phi1) \end{pmatrix} \).

Aufgabe: Zeigen Sie das V mit der oben definierten Addition und Multiplikation einen Vektorraum bildet. Welcher Vektor ist der Nullvektor von V?

Comments

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ich habe soweit 6 von den 8 Bedingungen durchgemacht.
Bei den anderen beiden habe ich Schwierigkeiten.
-Das inverse Element :
mein Rechenweg;
v1-v1-1=0
\( \begin{pmatrix} cos(phi1)\\sin(phi1) \end{pmatrix} \) + \( \begin{pmatrix} cos(-phi1)\\sin(-phi1) \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} cos(phi1-phi1)\\sin(phi1-phi1) \end{pmatrix} \)=\( \begin{pmatrix} cos(0)\\sin(0) \end{pmatrix} \) =\( \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \)≠\( \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix} \)
Ich geh davon aus, dass das falsch ist. Wie mache ich das richtig?
- Neutrale Element
Da bin ich auch überfordert. Es muss doch ein Wert geben, bei dem der ganze Vektor 0 wird? Wegen cos und sin geht das doch nicht?
Wäre es vlt. sowas wie : \( \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix} \)=(\( \begin{pmatrix} cos(0)\\sin(0) \end{pmatrix} \)+\( \begin{pmatrix} -cos(2pi)\\-sin(2pi) \end{pmatrix} \)) =( \( \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \)-\( \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \))=\( \begin{pmatrix} 0\\0\end{pmatrix} \).
Aber wegen der Definition der Vektoraddition hier geht das auch nicht, weil die Winkel zusammengezogen werden müssten.
Wer kann mir bei diesen beiden Punkten helfen;)?

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Hallo, ist das neutrale Element vlt \( \begin{pmatrix} cos(0)\\sin(0) \end{pmatrix} \)
weil die Addition ja so definiert ist: v1+v2= \( \begin{pmatrix} cos(phi1+phi2)\\cos(phi1+phi2) \end{pmatrix} \)
Also:\( \begin{pmatrix} cos(0)\\sin(0) \end{pmatrix} \)+\( \begin{pmatrix} cos(phi1)\\sin(phi1) \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} cos(0+phi1)\\sin(0+phi1) \end{pmatrix} \)= \( \begin{pmatrix} cos(phi1)\\sin(phi1) \end{pmatrix} \)
ja oder nein:)?

ein Inverses Element habe ich leider nicht gefunden. Gibt es eins?Wenn ja, welches?

Answer 1

Wie wäre es mit dem Ansatz v1+(-v1)?

Oder mit dem Ansatz s*Nullvektor=Nullvektor?