Koordinaten eines Vektors bezüglich den Basen des Vektorraums R3 berechnen

Question

Aufgabe:

Koordinaten des Vektors \( \vec{v} \)= \( \begin{pmatrix} 3\\2\\1 \end{pmatrix} \) bezüglich den folgenden Basen des
Vektorraums R3 berechnen.

a) { \( \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \) }

b) { \( \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \) }

c) { \( \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix} \) }

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass ich für a) (3, 2, 1) herausbekomme, aber wie gehe ich b) und c) an?

Answer 1

Für b), löse die Gleichung

    \( \begin{pmatrix} 3\\2\\1 \end{pmatrix} = x_1\cdot \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} +x_2\cdot \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix} +x_3\cdot \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \)

Koordinaten sind dann \(\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}\).

Answer 2

Aloha :)

Die Basis-Vektoren sind so gegeben, dass man die Lösungen direkt sehen kann:

$$\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\cdot3+\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\cdot2+\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\cdot1\quad\to\quad\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}_a$$

$$\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\cdot3+\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\cdot(-1)+\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\cdot(-1)\quad\to\quad\begin{pmatrix}3\\-1\\-1\end{pmatrix}_b$$

$$\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\cdot2+\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\cdot1+\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\cdot0\quad\to\quad\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}_c$$

Comments

Wie kommst du auf -1 bei b) ?

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Wegen der \(x\)-Koordinate brauche ich \(3\)-mal den ersten Basisvektor. Dadurch wäre dann die \(y\)-Koordinate gleich \(3\). Die muss ich um eins reduzieren. Das geht nur, indem ich den zweiten Basisvektor subtrahiere, daher die \((-1)\). Die \(z\)-Komponente ist dann \(2\), also um \(1\) zu hoch. Die kann ich nur verringern, wenn ich den dritten Basisvektor subtrahiere, daher die nächste \((-1)\).

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Ich danke dir!