Lotka-Volterra-System mit Hasen und Schafen

Question

Hasen und Schafe können im Lotka-Volterra-System verwendet werden. In diesem beispiel konkurrieren sie um das gleiche Futter.

Die Hasen und Schafe sind wie folgt definiert: h'=h(3-h-2s) s'=s(2-h-s)

(a) Finde Fixpunkte, so dass das system h 0; s = 0 und h = 0; s 0 ist
(b) Zeige, dass h = s = 1 auch ein fixpunkt des systems ist
(c) Skizziere das phasen-portrait.
(d) Was passiert wenn die Bevöllkerung von Hasen und Schafen gleich h(0) = ho (h null/ h mit kleinem null kreis am h) = 2 und s(0) = so (s null/ s mit kleinem null kreis am s) = 1?

Ich habe leider keine Ahnung.

Answer 1

a) Ein Fixpunkt (auch stationärer Punkt) ist ein Punkt, für den die Ableitungen der beiden Größen 0 ergeben, also muss gelten

h' = s' = 0

Zwei Fixpunkt findet man für s=0:

0 = h(3-h-2*0) = h(3-h) ⇒ mögliche Fixpunkte sind h=0 und h = 3

0 = 0*(2-h-0) = 0

Also liegen zwei Fixpunkte bei

(h, s) = (0, 0) und (h, s) = (3, 0)

 

Einen weiteren für h = 0:

(Die erste Gleichung ist automatisch erfüllt, die will ich nicht weiter betrachten.)

0 = s*(2-0-s) = s*(2-s) ⇒ ein weitere Fixpunkt liegt bei (h, s) = (0, 2)

 

b) Hierfür setzt man einfach den Punkt (h, s) = (1, 1) in die Differentialgleichung ein und überprüft, ob sich für beide Ableitungen 0 ergibt:

h' = h*(3-h-2s) = 1*(3-1-2*1) = 1*0 = 0

s' = s*(2-h-s) = 1*(2-1-1) = 0

also ist (h, s) eine stationäre Lösung.

c) Das Phasenportrait ist ein bisschen schwer zu beschreiben. Du kannst es annähern, indem du ein Koordinatensystem h-s zeichnest und in jeden Punkt (h,s) einen kleinen Pfeil malst, mit der Richtung (h', s') die du für diesen Punkt berechnen kannst.

 

d) Sowohl Hasen- als auch Schafspopulation werden fallen und schließlich gegen den stabilen Punkt (1, 1) gehen.

Comments

Du bist ein Schatz!!! Aber das Phasenportrait hab ich nicht verstanden, was muss ich da wo einsetzen, könntest du mir das noch mal erklären? Aber danke schon mal!!!