Koordinatengleichung der Hesseschen Normalenform bestimmen

Question

Hallo :D
Mit den Klausuren von letzten Jahren lerne ich für die Klausur, die ich nach zwei Wochen schreiben werde. Erst rechne ich die Aufgaben selber und dann kontrolliere ich meine Ergebnisse mit den Ergebnissen aus den Erwartungshorizont. Bis zur letzten Stelle habe ich alles verstanden aber wieso multipliziert man mit (-1)

AUFGABE: Gegeben sei die Ebene E: x= (-5, 2, -1) + s(4, 0, -3) + t(-1, 1, 1)
a) Einen Normaleneinheitsvektor bestimmen: Das war nicht so schwer. Als Ergebnis  habe ich da (1÷√26)•(3, -1, 4) raus. Das stimmt :D

b) Bestimmen Sie daraus  die Koordinatengleichung  des Hesseschen Normalenform ax + by + cz + d= 0 von E.
Ich komme auf den Ergebnis: (3x - 1y + 4z +21) ÷ (√26)
Genau das steht auch auf dem Erwartungshorizont. Aber eine Zeile dadrunter steht dann folgendes:

HNF: (-3x +1y -4z - 21) ÷ (√26)

Ich verstehe nur diese Stelle nicht :( :( :(
Wieso wurde denn auf einmal mit (-1) multipliziert.
KANN MIR DAS -BITTE- JEMAND ERKLÄREN???

Answer 1

Hallo :D:D

HNF

E: [x - (-5,2,-1)]*(3/√26, -1/√26, 4/√26) = 0

Koordinatengleichung aus der HNF

x(3/√26, -1/√26, 4/√26) - (-15/√26 -2/√26 - 4/√26) = 0
x(3/√26, -1/√26, 4/√26) + 21/√26 = 0
(x,y,z)*(3/√26, -1/√26, 4/√26) + 21/√26 = 0
3x/√26 - y/√26 + 4z/√26 + 21/√26 = 0
(3x - y + 4z + 21)/√26 = 0