Hallo :-)
Zunächst gilt für jeden Eigenwert \(\lambda\) eines Endomorphismuses
,,\(\underbrace{\text{geometrische Vielfachheit}}_{\dim(\operatorname{Eig}(A;\lambda))}\leq \text{algebraische Vielfachheit}\)".
Das bedeutet konkret, dass es passieren kann, dass du zu einem Eigenwert nicht genug Eigenvektoren bekommst, welche somit keine Basis zum betrachteten Vektorraum bilden können.
Ein verallgemeinertes Konzept bilden die Haupträume von Endomorphismen, wo du Potenzausdrücke der Form \((A-\lambda\cdot I_n)^k\) betrachtest und für jedes \(k\in \mathbb{N}_{\geq 1}\) die Dimension von \(\operatorname{Ker}((A-\lambda\cdot I_n)^k)\). Damit gilt allgemein folgende Kernkettenbeziehung:
$$\operatorname{Eig}(A;\lambda)=\operatorname{Ker}((A-\lambda\cdot I_n)^1)\subset \operatorname{Ker}((A-\lambda\cdot I_n)^2)\subset...\subset \operatorname{Ker}((A-\lambda\cdot I_n)^n)=\operatorname{Ker}((A-\lambda\cdot I_n)^{n+1}).$$
Dabei übersteigt für jeden Eigenwert \(\lambda\) aber die Dimension des jeweiligen Hauptraumes nicht den Wert der algebraischen Vielfachheit des Eigenwertes \(\lambda\).
Nun zu deiner Aufgabe:
(a) Charakteristisches Polynom: \( P_{A}(t)=t^{3}-5 t^{2}+7 t-3=(t-1)^{2}(t-3) \).
(b) Eigenwert \(3\) hat algebraische Vielfachheit 1 und Eigenwert \(1\) hat algebraische Vielfachheit 2.
Eigenvektoren berechnen:
\(A=\left(\begin{array}{ccc} 25 & 34 & 18 \\ -14 & -19 & -10 \\ -4 & -6 & -1 \end{array}\right) \)
Eigenwert 3: Berechne \(\operatorname{Ker}(A-3\cdot I_3)\): $$ \left(\begin{array}{ccc|c}22&34&18&0\\-14&-22&-10&0\\-4&-6&-4&0\end{array}\right)\\ \stackrel{\frac{1}{2}\cdot I, \frac{1}{2}\cdot II, \frac{1}{2}\cdot III}{\longrightarrow} \left(\begin{array}{ccc|c}11&17&9&0\\-7&-11&-5&0\\-2&-3&-2&0\end{array}\right) \\\stackrel{11\cdot II+7\cdot I}{\longrightarrow}\quad \left(\begin{array}{ccc|c}11&17&9&0\\0&-2&8&0\\-2&-3&-2&0\end{array}\right)\\\stackrel{11\cdot III+2\cdot I}{\longrightarrow}\quad \left(\begin{array}{ccc|c}11&17&9&0\\0&-2&8&0\\0&1&-4&0\end{array}\right) \\\stackrel{2\cdot III+1\cdot II}{\longrightarrow}\quad \left(\begin{array}{ccc|c}11&17&9&0\\0&-2&8&0\\0&0&0&0\end{array}\right) $$
Löse also nur:
\(I\quad 11a+17b+9c=0\)
\(II\quad -2b+8c=0\Leftrightarrow b=4c,\quad c\in \mathbb{R} \text{ freie Variable}\)
\(\Rightarrow 0=11a+17b+9c=11a+68c+9c=11a+77c \Leftrightarrow a=-7c\)
Also ist \(\begin{pmatrix}a\\b\\c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-7\cdot c\\4\cdot c\\c \end{pmatrix}=c\cdot \begin{pmatrix}-7\\4\\1 \end{pmatrix}\) und damit ist
\(\mathbb{R}\cdot \begin{pmatrix}-7\\4\\1 \end{pmatrix}=\operatorname{span}\left(\begin{pmatrix}-7\\4\\1 \end{pmatrix}\right)=\operatorname{Ker}(A-3\cdot I_3)\)
Hier gilt also \(\dim(\operatorname{Ker}(A-3\cdot I_3))=1=\text{algbr Vielfachheit von 3}\)
Eigenwert 1: Berechne \(\operatorname{Ker}(A-1\cdot I_3)\): $$ \left(\begin{array}{ccc|c}24&34&18&0\\-14&-20&-10&0\\-4&-6&-2&0\end{array}\right)\\ \stackrel{\frac{1}{2}\cdot I, \frac{1}{2}\cdot II, \frac{1}{2}\cdot III}{\longrightarrow} \left(\begin{array}{ccc|c}12&17&9&0\\-7&-10&-5&0\\-2&-3&-1&0\end{array}\right)\\ \stackrel{12\cdot II+7\cdot I}{\longrightarrow} \left(\begin{array}{ccc|c}12&17&9&0\\0&-1&3&0\\-2&-3&-1&0\end{array}\right)\\ \stackrel{12\cdot III+2\cdot I}{\longrightarrow} \left(\begin{array}{ccc|c}12&17&9&0\\0&-1&3&0\\0&-2&6&0\end{array}\right)\\ \stackrel{1\cdot III+(-2)\cdot II}{\longrightarrow} \left(\begin{array}{ccc|c}12&17&9&0\\0&-1&3&0\\0&0&0&0\end{array}\right)$$
Löse also nur:
\(I\quad 12a+17b+9c=0\)
\(II\quad -1b+3c=0 \Leftrightarrow b=3\cdot c,\quad c\in \mathbb{R} \text{ freie Variable}\)
\(\Rightarrow 0=12a+17b+9c=12a+51c+9c=12a+60c \Leftrightarrow a=-5\cdot c\)
Also ist \(\begin{pmatrix}a\\b\\c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5\cdot c\\3\cdot c\\c \end{pmatrix}=c\cdot \begin{pmatrix}-5\\3\\1 \end{pmatrix}\) und damit ist
\(\mathbb{R}\cdot \begin{pmatrix}-5\\3\\1 \end{pmatrix}=\operatorname{span}\left(\begin{pmatrix}-5\\3\\1 \end{pmatrix}\right)=\operatorname{Ker}(A-1\cdot I_3)\)
Hier gilt also \(\dim(\operatorname{Ker}(A-1\cdot I_3))=1<\text{algbr Vielfachheit von 3}=2\), sodass es nicht genug Eigenvektoren von \(A\) gibt, die eine Basis von \(\mathbb{R}^3\) bilden.
Haupträume:
Eigenwert 3: Nach voriger Rechnung wird wegen \(\dim(\operatorname{Ker}(A-3\cdot I_3))=1=\text{algbr Vielfachheit von 3}\) \(\operatorname{Ker}(A-3\cdot I_3)\) nicht größer und es gilt \(\operatorname{Ker}(A-3\cdot I_3)=\operatorname{Hau}(A-3\cdot I_3)\)
Eigenwert 1: Berechne jetzt \(\operatorname{Ker}((A-1\cdot I_3)^2)\):
\(\left(\begin{array}{ccc|c} 28 & 28 & 56 &0\\ -16 & -16 & -32&0 \\ -4 & -4 & -8&0 \end{array}\right)\\ \stackrel{\frac{1}{28}\cdot I, \frac{1}{16}\cdot II, \frac{1}{4}\cdot III}{\longrightarrow} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 &0\\ -1 & -1 & -2&0 \\ -1 & -1 & -2&0 \end{array}\right)\\ \stackrel{1\cdot II+1\cdot I}{\longrightarrow} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 &0\\ 0 & 0 & 0&0 \\ -1 & -1 & -2&0 \end{array}\right) \\ \stackrel{1\cdot III+1\cdot I}{\longrightarrow} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 &0\\ 0 & 0 & 0&0 \\ 0 & 0 & 0&0 \end{array}\right)\)
Löse also nur:
\(I\quad a+b+2c=0\Leftrightarrow a=-b-2c,\quad b,c\in \mathbb{R}\)
Also ist \(\begin{pmatrix}a\\b\\c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-b-2c\\b\\c \end{pmatrix}=b\cdot \begin{pmatrix}-1\\1\\0 \end{pmatrix}+c\cdot \begin{pmatrix}-2\\0\\1 \end{pmatrix}\) und damit ist
\(\operatorname{Ker}((A-1\cdot I_3)^2)=\operatorname{span}\left(\begin{pmatrix}-1\\1\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-2\\0\\1 \end{pmatrix}\right)\)
Ansonsten kommt man schon durch bloßes Hinschauen auf die Version
\(\operatorname{Ker}((A-1\cdot I_3)^2)=\operatorname{span}\left(\begin{pmatrix}2\\0\\-1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\2\\-1 \end{pmatrix}\right)\)
Hier wird auch die Dimension nicht weiter größer und damit ist das charakteristische Polynom gleich dem Minimalpolynom.
