Zeigen sie, dass f irreduzibel ist

Question

Es sei f = X³ + X + 1 ∈ F2[X]. Es bezeichne α die Restklasse von X in F2[X]/fF2[X].
1. Zeigen Sie, daß f irreduzibel ist.
2. Folgern Sie, daß F8 := F2[X]/fF2[X] ein Körper mit 8 Elementen ist.
3. Bestimmen Sie die folgenden Elemente von F8 in der Form a + bα + cα² mit a, b, c ∈ F2.
a) (1 + α + α²) + (1 + α)

b) α³

c) (1 + α + α²)(1 + α)

d) (1 + α)⁷

e) (1 + α + α²)^(-1)

1. und 2. hab ich schon geschafft, nur bei 3. weiß ich nicht, was zu tun ist. Könnt ihr mir vielleicht helfen? :)

Answer 1

Zu 3.:

a) $(1+\alpha+\alpha^2)+(1+\alpha)=2\cdot 1+2\cdot\alpha+\alpha^2=\alpha^2$

b) $\alpha^3=\alpha+1$ gemäß modulo $f$.

c) $(1+\alpha+\alpha^2)+(\alpha+\alpha^2+\alpha^3)=1+\alpha^3=1+(1+\alpha)=\alpha$

d) Die multiplikative Gruppe des Körpers hat die Ordnung 7, also ist

$(1+\alpha)^7=1$.

e) $(1+\alpha+\alpha^2)\alpha^2=\alpha^2+1+\alpha+\alpha(1+\alpha)=1$,

also $(1+\alpha+\alpha^2)^{-1}=\alpha^2$.