Ableiten von ln-Funktionen :( :(

Question

:)
Mir ist bewusst, dass die Ableitung von ln(x) 1/x ist. Oder von ln(3x) 3/3x= 1/x ist
Aber die ersten drei Ableitungen von f(x) = ln ( (k+x)  /  (k-x) )  (ALSO ln von in Klammern k+x Bruchstrich k-x)

Die Lösungen sind:

1. Ableitung: (2k / k²-x²)

2. Ableitung: (4kx / k²-x²)

3. Ableitung: (4k³+12kx² / k²-x³)³   =    4k(k²+3x²) / (k² - x²)³

Answer 1

f(x) = LN((k + x)/(k - x))

Kettenregel u(v(x))

u(x) = ln(x)
u'(x) = 1/x

v(x) = (k + x)/(k - x)
v'(x) = 2·k/(x - k)^2

f'(x) = 1/((k + x)/(k - x))·(2·k/(x - k)^2) = 2·k/((x + k)·(k - x)) = 2·k/(k^2 - x^2) = 2·k·(k^2 - x^2)^{-1}

Die nächsten Ableitungen sollten dann eigentlich ein Selbstgänger sein.

f''(x) = 4·k·x/(x^2 - k^2)^2

f'''(x) = (12·k·x^2 + 4·k^3)/(k^2 - x^2)^3