Rechnen mit Zufallsvariable

Question

Aufgabe:

Sei X eine Zufallsvariable, die Werte in N annimmt (d.h. P(X ∈ N) = 1).
Zeige
E[X] = summe P(X ≥ i).

Problem/Ansatz:

Wir haben hier den Hinweis bekommen, dass der Satz von Tornelli verwendet werden soll, aber leider finde ich keinen Ansatz. Würde mir jemand helfen?

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Was sagt denn dieser Satz?

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Und welche Rolle spielt das seltsame "i", das außer in deiner Textzeile

E[X] = summe P(X ≥ i).

nirgendwo auftaucht?

Answer 1

Hallo,

ich schreibe mal die mutmaßliche Lösung - rein rechnerisch - auf, das "Theoretische" musst Du dann nachtragen:

$$E[X]= \sum_{i=1}^{\infty} i P (X=i)= \sum_{i=1}^{\infty}\left( \sum_{k=1}^i 1\right) P (X=i)$$

$$=\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{i \geq k} P(X=i)=\sum_{k=1}^{\infty}P(X \geq k)$$

Der Satz wird dann wohl die Vertauschung der Summationsreihenfolge erlauben.

Gruß Mahthilf

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Danke für die Anwort du hast mir sehr geholfen!!

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und genau der Satz von Tonelli darf ich anwenden!! Super vielen Dank