Zeige: Die Summe der Teiler von 5n ist floor(5n+3/100).
"floor" heißt "abgerundet auf die nächste natürliche Zahl".
Was bedeutet floor?
floor bedeutet: "Auf die nächste natürliche Zahl abgerundet."
Die Aussage scheint äquivalent zu ∑k=0n5k=53+n−52100\sum \limits_{k=0}^{n} 5^k = \dfrac{5^{3+n}-5^2}{100}k=0∑n5k=10053+n−52 zu sein. Dies lässt sich vereinfachen zu 4⋅∑k=0n5k=51+n−14\cdot\sum \limits_{k=0}^{n} 5^k = 5^{1+n}-14⋅k=0∑n5k=51+n−1 Wie es von hier weiter geht, weiß ich nicht.
Eine deutlich bessere Vereinfachung ist: ∑k=0n5k=5n+1−15−1\sum \limits_{k=0}^{n} 5^k = \dfrac{5^{n+1}-1}{5-1}k=0∑n5k=5−15n+1−1
Vollständige Induktion:
IndAnf....
IndVor:
4⋅∑k=0n5k=51+n−14\cdot\sum \limits_{k=0}^{n} 5^k = 5^{1+n}-14⋅k=0∑n5k=51+n−1
IndSchritt:
Zu zeigen:
4⋅∑k=0n+15k=52+n−14\cdot\sum \limits_{k=0}^{n+1} 5^k = 5^{2+n}-14⋅k=0∑n+15k=52+n−1
4⋅∑k=0n+15k=51+n−1+4⋅5n+1=52+n−14\cdot\sum \limits_{k=0}^{n+1} 5^k\\ = 5^{1+n}-1+4\cdot5^{n+1}\\=5^{2+n}-14⋅k=0∑n+15k=51+n−1+4⋅5n+1=52+n−1
Sehr schön. Meine erste Überlegung finde ich gar nicht mehr so gut. Die zweite Vereinfachung zeigt die Aussage eigentlich unmittelbar.
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