Question

Zeige: Die Summe der Teiler von 5ⁿ ist floor(5ⁿ⁺³/100).

"floor" heißt "abgerundet auf die nächste natürliche Zahl".

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Was bedeutet floor?

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floor bedeutet: "Auf die nächste natürliche Zahl abgerundet."

Answer 1

Die Aussage scheint äquivalent zu $$\sum \limits_{k=0}^{n} 5^k = \dfrac{5^{3+n}-5^2}{100}$$ zu sein. Dies lässt sich vereinfachen zu $$4\cdot\sum \limits_{k=0}^{n} 5^k = 5^{1+n}-1$$ Wie es von hier weiter geht, weiß ich nicht.

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Eine deutlich bessere Vereinfachung ist: $$\sum \limits_{k=0}^{n} 5^k = \dfrac{5^{n+1}-1}{5-1}$$

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Vollständige Induktion:

IndAnf....

IndVor:

\(4\cdot\sum \limits_{k=0}^{n} 5^k = 5^{1+n}-1\)

IndSchritt:

Zu zeigen:

\(4\cdot\sum \limits_{k=0}^{n+1} 5^k = 5^{2+n}-1\)

\(4\cdot\sum \limits_{k=0}^{n+1} 5^k\\ = 5^{1+n}-1+4\cdot5^{n+1}\\=5^{2+n}-1\)

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Sehr schön. Meine erste Überlegung finde ich gar nicht mehr so gut. Die zweite Vereinfachung zeigt die Aussage eigentlich unmittelbar.