0 Daumen
686 Aufrufe

Zeige: Die Summe der Teiler von 5n ist floor(5n+3/100).

"floor" heißt "abgerundet auf die nächste natürliche Zahl".

Avatar von 124 k 🚀

Was bedeutet floor?

floor bedeutet: "Auf die nächste natürliche Zahl abgerundet."

1 Antwort

+1 Daumen

Die Aussage scheint äquivalent zu k=0n5k=53+n52100\sum \limits_{k=0}^{n} 5^k = \dfrac{5^{3+n}-5^2}{100} zu sein. Dies lässt sich vereinfachen zu 4k=0n5k=51+n14\cdot\sum \limits_{k=0}^{n} 5^k = 5^{1+n}-1 Wie es von hier weiter geht, weiß ich nicht.

Avatar von 27 k

Eine deutlich bessere Vereinfachung ist: k=0n5k=5n+1151\sum \limits_{k=0}^{n} 5^k = \dfrac{5^{n+1}-1}{5-1}

Vollständige Induktion:

IndAnf....

IndVor:

4k=0n5k=51+n14\cdot\sum \limits_{k=0}^{n} 5^k = 5^{1+n}-1

IndSchritt:

Zu zeigen:

4k=0n+15k=52+n14\cdot\sum \limits_{k=0}^{n+1} 5^k = 5^{2+n}-1

4k=0n+15k=51+n1+45n+1=52+n14\cdot\sum \limits_{k=0}^{n+1} 5^k\\ = 5^{1+n}-1+4\cdot5^{n+1}\\=5^{2+n}-1

Sehr schön. Meine erste Überlegung finde ich gar nicht mehr so gut. Die zweite Vereinfachung zeigt die Aussage eigentlich unmittelbar.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Ähnliche Fragen

+1 Daumen
0 Antworten
0 Daumen
0 Antworten
+1 Daumen
1 Antwort