Passt der LKW mit einen rechteckigen Querschnitt unter der Brücke durch?

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

7. Der Parabelbogen einer Brücke lässt sich mit der Gleichung \( y=-0,5 x^{2}+2,5 x \) beschreiben. Dabei steht \( x \) für den Abstand vom linken Brückenpfeiler und \( y \) für die Brückenhöhe.
a) Gib die maximale Brückenhöhe an. \( 14 \mathrm{P} \)
b) Ein LKW ist \( 2,40 \mathrm{~m} \) hoch und \( 2,20 \mathrm{~m} \) breit. Passt der LKW mit einen rechteckigen Querschnitt unter der Brücke durch? \( 14 \mathrm{P} \)

Wie kann ich es bei b) heraus finden?

Answer 1

f(x)=-0,5x^2+2,5x

Nullstellen:

x₁=0

x₂=5

Scheitelpunkt: S(2,5|f(2,5)

Wenn der LKW nun mittig fährt, liegt seine linke Begrenzung bei B_1(2,5-1,1|0)→B_1(1,4|0)

f(1,4)=-0,5*1,4^2+2,5*1,4=2,52

Der LKW ist 2,40  m hoch. Somit hätte er noch 12cm Luft nach oben.

Die Berechnung für die rechte Breite kann ich mir ersparen, da bei allen Parabeln 2.Grades die Symmetrieachse durch den Scheitelpunkt "laufen".

Comments

läuft

:-)

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"...da bei allen Parabeln 2.Grades die Symmetrieachse durch den Scheitelpunkt "laufen".

So wäre es besser gewesen:

...da bei allen Parabeln 2.Grades die Symmetrieachsen durch die Scheitelpunkte "laufen".

Answer 2

Berechne die Punkte für die Höhe des LKW.

Also y=2,4.  Ich bekomme die Lösungen

x=1,296 und x=3,704

Die Differenz ist 2,408 .Soweit liegen die Punkte in der

Breite auseinander. Der LKW ist aber nur 2,2m breit, hat also

an jeder Seite noch ca. 10cm Platz, das sollte klappen.

Answer 3

y=-0,5x²+2,5x

y=-0,5x(x-5)

Die Nullstellen liegen bei x=0 und x=5.

Der Schritelpunkt der Brücke liegt in der Mitte zwischen den Nullstellen, also bei x=2,5.

Wenn der LKW genau mittig unter der Brücke durchfährt, befinden sich seine Seiten bei x=2,5-1,1=1,4 und x=2,5+1,1=3,6. Dabei ist 1,1 die halbe Breite des Wagens.

Die y-Werte der Brücke betragen hier

y=-0,5*1,4*(1,4-5)=0,7*3,6=2,52

Der LKW ist 2,4 Meter hoch. Es sind also 12 Zentimeter Platz in der Höhe.

Comments

Könnte man auch so Rechen das man die maximale Brückenhöhe berechnet also y=-0,5•(2,5)^2+2,5•(2,5)

y= 3,125> 2,40

Also weil dann die Brückenhöhe größer ist passt er dann durch. Reicht es dann für die Begründung?

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Das reicht leider nicht, da der LKW dann ganz schmal sein müsste. Sieh dir mal die Abbildung vom Mathecoach an. Da siehst du, dass die oberen Ecken die kritischen Punkte sind.

Answer 4

Eine gute Skizze ist die halbe Lösung der Aufgabe.

Answer 5

allgemeine Form der Parabel y=f(x)=a2*x²+a1*x+ao

Scheitelpunktform y=f(x)=a2*(x-xs)²+ys

Scheitelpunkt Ps(xs/ys) mit xs=-(a1)/(2*a2) und ys=-(a1)²/(4*a2)+ao

f(x)=-0,5*x²+2,5*x+0

a2=-0,5 und a1=2,5 und ao=0

xs=-(2,5)/(2*(-0,5))=2,5 m und ys=-(2,5)²/(4*(-0,5))+0=3,125 m

Der Lkw muß in der Mitte fahren → Breite des LKW b=2,20 m also x1=2,5 m-2,20 m/2=1,4 m

x2=2,5 m-2,20 m/2=3,60 m

f(x1)=f(1,4)=-0,5*1,4²+2,4*1,4=2,52 m>2,40 m passt

Infos,

Text erkannt:

Die Parabe] af 1geneine Form \( y=f(x)=a 2 * x^{2}+a 1+x+a 0 \) Scheitelpunkt form \( \left.y=f(x)=a 2^{*}(x-x 8)^{2}+y\right\} \) Scheite1punkt \( \mathrm{Ps}(\mathrm{xs} / \mathrm{ys}) \mathrm{mit} \mathrm{xse-}(\mathrm{a} 1) /(2 * \mathrm{a} 2) \) und
\( \mathrm{y} \mathrm{se-}(\mathrm{a} 1)^{2} /(4 * \mathrm{a} 2)+\mathrm{ad} \)
Normalform \( 0=x^{2}+p^{*} x+d \) Nullstellen mit der p-q-Formel \( x 1,2=-p / 2+/-\sqrt{\left((p / 2)^{2}-q\right)} \)
gemischtquadratische Form \( \left.0=x^{2}+p^{*} x\right] \) Nu11stellen bei \( x 1=0 \) und
einfachste Form \( y=a^{*} x^{2}+c \)
a 2-Streckungsfaktor (Formfaktor) \( a 2>0 \) Parabel nach oben offen, Minimum vorhanden a \( 2<0 \) Parabel nach unten offen,Maximum vorhanden \( a 2>1 \) Parabel gestreckt,oben schmal 0 <a \( 2<1 \) Parabel gestaucht,oben breit
\( \underline{\text { Herleitung } x s} \) und ys \( f(x)=a 2^{*} x^{2}+a 1^{*} x+a \circ \) nun ableiten
\( f^{\prime}(x s)=0=2 * a 2 * x s+a 0 \quad \) ergibt \( \left.x s=-(a 1) /(2 * a 2)\right] \) eingesetzt
\( y s=f(x s)=a 2 *(-a 1 /(2 * a 2))^{2}+a 1 *(-a 1 /(2 * a 2)+a 0 \)
\( y s=a 2 *(-a 1)^{2} /\left(4^{*} a 2^{2}\right)-a 1^{2} /(2 * a 2)+a 0 \)
\( \mathrm{ys}=1 / 4 * \mathrm{a} 1^{2} / \mathrm{a} 2^{2}-2 / 4 * \mathrm{a} 1^{2} / \mathrm{a} 2+\mathrm{ao} \)
\( y s=-(a 1)^{2} /(4 * a 2)+a d \)
Hinweis:Der Scheitelpunkt Ps(xs/ys) ist ein Extrempunkt Maximum oder Minimum
Lösbarkeitsregeln für die p-q-Formel
Diskriminate D=(p/2) \( ^{2}-\mathrm{p}\left\{\left\{\begin{array}{l}>02 \text { reelle verschiedene Lösungen } \\ =02 \text { gleiche reelle Losungen } \\ <02 \text { konjugiert komplexe Losungen }\end{array}\right.\right. \)

 ~plot~-0,5*x^2+2,5*x;2,52;[[-5|10|-5|5]];x=2,5;x=1,4;x=3,6~plot~