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Willkommen in der Mathelounge... \o/
Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten \(a,b\) und der Hypothenus \(c\).$$F=\frac{a\cdot b}{2}=840\;\;\;\qquad\implies\quad a\cdot b=1680$$$$U=a+b+c=140\quad\implies\quad a+b=140-c$$Wir bestimmen zuerst die Länge der Seite \(c\):$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=\underbrace{(a^2+b^2)}_{=c^2\text{ Pythagoras}}+2\cdot\underbrace{ab}_{=1680}=c^2+3360$$$$(a+b)^2=(140-c)^2=140^2-280c+c^2$$Damit haben wir eine Bestimmungsgleichung für \(c\), denn:
$$\left.c^2+3360=140^2-280c+c^2\quad\right|-c^2$$$$\left.3360=140^2-280c\quad\right|+280c \;\big|\;-3360$$$$\left.280c=140^2-3360\quad\right|\colon280$$$$c=\frac{140^2-3360}{280}$$$$c=58$$
Damit bleiben 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten für \(a\) und \(b\):$$a+b=140-58=82\implies$$$$a(a+b)=82a\implies a^2+\,\underbrace{ab}_{=1680}=82a\implies a^2-82a+1680=0\implies$$$$(a-42)(a-40)=0\implies a=40\;\lor\;a=42$$
Wählen wir \(a=40\), so ist wegen \(a+b=82\) der Wert für \(b=42\).
Wählen wir \(a=42\), so ist wegen \(a+b=82\) der Wert für \(b=40\).
Die Wahl der Seiten \(a\) und \(b\) ist also nicht eindeutig. Wir wählen als Lösung:$$a=40\quad;\quad b=42\quad;\quad c=58$$
Damit sind auch die Winkel klar:$$\sin(\alpha)=\frac{a}{c}\implies\alpha=\arcsin\left(\frac{40}{58}\right)\approx43,60^\circ\quad\implies$$$$\alpha=43,60^\circ\quad;\quad\beta=46,40^\circ\quad;\quad\gamma=90^\circ$$
