Extremstelle von f über Höhenlinie von g bestimmen

Question

Aufgabe:

Seien f : R^2 → R, (x, y) → xy und

g : R^2 → R, (x, y) → x^2/a +(y^2)/b mit a, b > 0.

(ii) Sei c > 0. Bestimmen Sie die Extremstellen von f Über den Höhenlinien Ng(c) := {(x, y) ∈ R^2: g(x, y) = c}
von g

Problem/Ansatz:

Leider weiß ich gar nicht wie das Konzept zur Lösung dieser Aufgabe aussieht. Wäre super wenn mir jemand sagen könnte, was überhaupt zu tun ist.

Answer 1

Aloha :)

Wir sollen eine Funktion \(f(x;y)\) unter einer konstanten Nebenbedingung \(g(x;y)\) optimieren.$$f(x;y)=xy\quad;\quad g(x;y)=\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}=c\quad;\quad a,b,c>0$$

Nach Lagrange muss der Gradient der Nebenbedingung kollinear zum Gradienten der zu optimierenden Funktion sein. Der Proportionalitätsfaktor \(\lambda\) ist der sog. Lagrange Multiplikator:

$$\operatorname{grad}f(x;y)=\lambda\operatorname{grad}g(x;y)\implies\binom{y}{x}=\lambda\binom{\frac{2x}{a}}{\frac{2y}{b}}\implies$$$$\frac{y}{x}=\frac{\lambda\frac{2x}{a}}{\lambda\frac{2y}{b}}=\frac{x}{y}\,\frac{b}{a}\implies\frac{y^2}{x^2}=\frac{b}{a}$$

Damit sind wir fertig und brauchen das nur noch in die Nebenbedingung einzusetzen:$$\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}=c\implies x^2=ac-\frac{a}{b}y^2=ac-\frac{a}{b}\,\frac{b}{a}x^2=ac-x^2\implies x^2=\frac{ac}{2}$$$$\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}=c\implies y^2=bc-\frac{b}{a}x^2=bc-\frac{b}{a}\,\frac{ac}{2}=bc-\frac{bc}{2}\implies y^2=\frac{bc}{2}$$

Wir haben daher vier kritische Punkte gefunden:$$P_1\left(\sqrt{\frac{ac}{2}}\bigg|\sqrt{\frac{bc}{2}}\right)\quad;\quad P_2\left(-\sqrt{\frac{ac}{2}}\bigg|\sqrt{\frac{bc}{2}}\right)$$$$P_3\left(\sqrt{\frac{ac}{2}}\bigg|-\sqrt{\frac{bc}{2}}\right)\quad;\quad P_4\left(-\sqrt{\frac{ac}{2}}\bigg|-\sqrt{\frac{bc}{2}}\right)$$

Wegen \(f(x;y)=x\cdot y\) ist klar, dass \(P_1\) und \(P_4\) Maxima sind und \(P_2\) und \(P_3\) Minima.

Answer 2

Ich hätte es mit Lagrange versucht. Hier zunächst eine Lösung von meinem Freund Wolfram Alpha.