rechtwinkliges Dreieck in der euklidischen Ebene

Question

Aufgabe: Rechtwinkliges Dreieck in der Euklidischen Ebene

Problem/Ansatz:

Hallo :)

Ich komme wieder mal bei Geometrie nicht weiter...:/

Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen ?

Text erkannt:

Zeigen Sie:
Sei \( \Delta X Y Z \) ein rechtwinkliges Dreieck in der Euklidische Ebene mit rechtem Winkel in \( Z \) und sei \( F \) der Fußpunkt von \( Z \) auf \( [X Y] \). Dann gilt
$$ d(Z, F)^{2}=d(X, F) d(Y, F) $$

Answer 1

Wende https://www.mathelounge.de/847347/dreieck-rechter-winkel

auf die drei rechtwinkligen Dreiecke XFZ und ZFY und XYZ an, das gibt für das letzte

d(XZ)^2 + d(YZ)^2 = d(XY)^2

Die ersten beiden eingesetzt gibt

d(XF)^2 + d(FZ)^2 + d(FZ)^2 + d(FY)^2 = d(XY)^2

d(XF)^2 + 2d(FZ)^2  + d(FY)^2 = d(XY)^2

Da F auf der Strecke XY liegt gilt d(XY)=d(XF)+d(FY)

eingesetzt also  d(XF)^2 + 2d(FZ)^2  + d(FY)^2 = (d(XF)+d(FY) )^2

<=>  d(XF)^2 + 2d(FZ)^2  + d(FY)^2 = d(XF)^2 + 2d(XF)*d(FY) +d(FY) ^2

<=>  2d(FZ)^2 = 2d(XF)*d(FY)    | 2    Bingo !

Comments

Vielen Dank für deine ausführliche Erläuterung und Hilfe :)