rechtwinkliges Dreieck Beweis

Question

Aufgabe:

In einem Rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse c und der Höhe senkrecht zu c gilt : \( \frac{1}{h^2} \) = \( \frac{1}{a^2} \) + \( \frac{1}{b^2} \)

könnt ihr mir vielleicht bei der Begründung helfen?

Vielen dank im Voraus.

Comments

Betrachte erst die Satzgruppem im Link und dann die Antworten, ich habe meine Antwort ergänzt.

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Satzgruppe_des_Pythagoras

Answer 1

Hallo,

Es gilt unter Verwendung des Kathetensatzes und des Satzes von Pythagoras:$$\frac{1}{h^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2b^2} \Leftrightarrow h^2=\frac{a^2b^2}{a^2+b^2}\overset{(1), (2)}=\frac{\cancel{c^2}pq}{\cancel{c^2}}=pq$$ Das ist genau der Höhensatz.

Comments

ist das also der beweis für die Gleichung ?

Irgendwie verstehe ich das nicht, könntest du es erklären?

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ist das also der beweis für die Gleichung ?

Ja - racine_carée hat nur die Sätze angewendet, die oben beschrieben sind. Bei der Gleichung $$\frac 1{h^2} = \frac 1{a^2} + \frac 1{b^2}$$ hat er die rechte Seite auf den Hauptnenner gebracht:$$\frac 1{h^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2\cdot b^2}$$und nun wendet man bei \(h^2\) den Höhensatz an, bei \(a^2+b^2\) den Satz des Pythagoras und bei dem Produkt \(a^2\cdot b^2\) jeweils den Kathetensatz.

Dann wird daraus$$\frac 1{pq} = \frac{c^2}{(c p)(cq)}$$kürzt man rechts das \(c^2\), dann steht auf beiden Seiten dasselbe. Folglich war die Ausgangsgleichung richtig und der Zusammenhang ist damit bewiesen.

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ich bin so vorgegangen: ist das auch richtig so?

Text erkannt:

\( \Leftrightarrow p \cdot c \cdot q \cdot c=p q\left(b^{2}+a^{2}\right) \)
\( \Leftrightarrow a^{2} \cdot b^{2}=p q\left(b^{2}+a^{2}\right) \)
\( \Leftrightarrow a^{2} \cdot b^{2}=h^{2}\left(b^{2}+a^{2}\right) \)
\( \Leftrightarrow \frac{a^{2} \cdot b^{2}}{h^{2}}=b^{2}+a^{2} \)
\( \Leftrightarrow \frac{b^{2}}{h^{2}}-\frac{b^{2}}{a^{2}}+1 \)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{b^{2}}=\frac{1}{a^{2}}+\frac{\Delta}{b^{2}} \)
\( * \) Kathetensatz \( \sim a^{2}=p \cdot c, b^{2}=4 \cdot c \)
"1 Hohensatz \( \sim h^{2}=p q \)

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ist das auch richtig so?

Ja - das ist genauso richtig.

Answer 2

1/h^2 = 1/a^2 + 1/b^2
1/h^2 = (a^2 + b^2)/(a^2·b^2)
h^2 = (a^2·b^2)/(a^2 + b^2)
h^2 = ((a·b)^2)/(c^2)
h = (a·b)/c
c·h = a·b
A = 1/2·c·h = 1/2·a·b

Comments

ich verstehe den zweiten schritt irgendwie nicht

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Auf einen Hauptnenner bringen und zusammenfassen:

1/h^2 = 1/a^2 + 1/b^2

1/h^2 = b^2/(a^2·b^2) + a^2/(a^2·b^2)

1/h^2 = (a^2 + b^2)/(a^2·b^2)

Answer 3

$$\frac{1}{a^2} +\frac{1}{b^2}=$$Kathetensatz $$\frac{1}{p(p+q)} +\frac{1}{q(p+q}=$$$$\frac{q}{pq*(p+q)} +\frac{p}{pq(p+q}=$$$$\frac{p+q}{pq*(p+q)}=\frac{1}{pq}=$$Höhensatz$$\frac{1}{h^2}$$

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Satzgruppe_des_Pythagoras

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Antwort wurde ergänzt.

Answer 4

Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks:

0,5ab=0,5hc

--> h=ab/c

h^2=a^2*b^2/c^2

h^2=a^2*b^2/(a^2+b^2)     |Kehrwert

1/h^2=(a^2+b^2)/(a^2*b^2)

1/h^2=a^2/(a^2*b^2)+b^2/(a^2*b^2)

1/h^2=1/b^2+1/a^2

1/h^2=1/a^2+1/b^2