Aus a,b nilpotent folgt a+b nilpotent

Question

Aufgabe:

Sie R ein kommutativer Ring und N die Nilpotent Gruppe (also alle nilpotenten Elemente aus R). Man soll zeigen, dass N eine additive Untergruppe von (R,+) ist.

Problem/Ansatz:

Den ersten Axiom, dass N nicht die leere Menge ist, habe ich gezeigt das war einfach. Mein Problem ist wie ich zeige, dass a, b nilpotent folgt, dass a+b nilpotent ist.

Mein Ansatz war: Da a und b nilpotent. Gibt es ein n, m s.d. a^n=0 und b^m=0. Ich muss nun aber auf (a+b)^k=0 kommen. Und genau an diesem Punkt komme ich nicht weiter.

Comments

Binomischer Lehrsatz anwenden. Dann das k so groß wählen, dass jeder Summand =0 ist.

Wie dir hoffentlich bekannt ist, ist für \( a^n = 0 \) auch \( a^N = 0 \) für alle \( N \ge n \).

---

Könnte ich dann k einfach als m+n wählen?

---

Ja, kannst du.