Berechnen Sie die Größe des Winkels zwischen den Geraden \mathrm{g}_{0} und \mathrm{h}_{0} .

Question

Aufgabe:

Für \( a \in \mathbb{R} \) sind Geraden durch \( g_{a}: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 7\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{r}a \\ 4 \\ -8\end{array}\right) \) und \( h_{a}: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 7\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{r}-2 \\ a \\ 2\end{array}\right) \) gegeben.
a) Berechnen Sie die Größe des Winkels zwischen den Geraden \( \mathrm{g}_{0} \) und \( \mathrm{h}_{0} \).
b) Für welchen Wert von a sind die Geraden \( \mathrm{g}_{\mathrm{a}} \) und \( \mathrm{h}_{\mathrm{a}} \) zueinander orthogonal?
c) Gibt es einen Wert von a, sodass die Geraden \( \mathrm{g}_{\text {a }} \) und \( \mathrm{h}_{\mathrm{a}} \) zueinander parallel sind?

Answer 1

Winkel findet man immer mit dem Spaltprodukt raus, weisst du wie das mit dm Winkel zusammenhängt?

orthogonal falls das Skalarprodukt 0. parallel wenn v1=r*v2

Gruß lul

Answer 2

Hallo,

a) Berechnen Sie die Größe des Winkels zwischen den Geraden \( \mathrm{g}_{0} \) und \( \mathrm{h}_{0} \)

Berechne mit den Winkel mit der Formel

\(cos(\alpha)=\frac{|\vec{u|\circ|\vec{v|}}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}\)

mit u und v als Richtungsvektoren der Geraden.

b) Für welchen Wert von a sind die Geraden \( \mathrm{g}_{\mathrm{a}} \) und \( \mathrm{h}_{\mathrm{a}} \) zueinander orthogonal?

Wenn das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren null ergibt.

\(\begin{pmatrix} a\\4\\-8 \end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix} -2\\a\\2 \end{pmatrix}=0\)

Löse nach a auf.

c)  Gibt es einen Wert von a, sodass die Geraden \( \mathrm{g}_{\text {a }} \) und \( \mathrm{h}_{\mathrm{a}} \) zueinander parallel sind?

Wie lautet die Antwort unter Berücksichtigung der Tatsache, dass der Stützvektor derselbe ist?

Gruß, Silvia

Answer 3

beide Geraden haben einen gemeinsamen Stützpunkt (Stützvektor) a(0/0/7)

Winkel zwischen 2 Vektoren a(ax/ay/az) und b(bx(by/bz)

(a)=arccos|a*b/(|a|*|b|)

Skalarprodukt a*b=ax*bx+ay*by+az*bz

Betrag |a|=Wurzel(ax²+ay²+az²)

Betrag |b|=Wurzel(bx²+by²+bz²)

b) orthogonal (rechtwinklig) wenn a*b=ax*bx+ay*by+az*bz=0

(a/4/-8)*(-2/a/2)=a*(-2)+4*a-8*2=0

-2*a+4*a-16=0

2*a=16

a=16/2=8

c)

Bedingung: m1*t=m2  → Richtungsvektoren m1 und m2 liegen parallel

(a/4/-8)*t=(-2/a/2)

y-Komponente :1) 4*t=a → t=a/4

x-Komponente: 2) a*t=-2 → t=-2/a

1) und 2) gleichgesetzt

a/4=-2/a

a/a=1=-2/4=-1/2 → falsche Aussage → nicht mödlich