Problem bei der Ableitung: Kettenregel

Question

Hi, habe 2 Aufgaben probiert, ich komme nicht auf die Lösungen und frage mich wieso. Bitte deshalb um Rechenweg mit Erklärung, sodass ich es auch verstehe. Vielen Dank im Voraus!

Text erkannt:

14. \( f(x)=\frac{x^{2}+4}{x^{3}-2 x^{2}} / v \)
\( l^{\prime}(x)=\frac{2 x \cdot\left(x^{3}-2 x^{2}\right)-\left(x^{2}+4\right) \cdot\left(3 x^{2}-4 x\right)}{\left(x^{3}-2 x^{2}\right)^{2}} \)
\( f^{\prime}(x)=\frac{2 x^{4}-4 x^{3}-\left(3 x^{4}+12 x^{2}-4 x^{3}-16 x\right)}{\left(x^{3}-2 x^{2}\right)^{2}} \)
\( f^{\prime}(x)=\frac{-x^{4}-12 x^{2}+16 x}{\left(x^{3}-2 x^{2}\right)^{2}} \)
Doung \( =\frac{-x^{3}-12 x+16}{x^{3} \cdot(x-2)^{2}} \)

Text erkannt:

16. \( f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x}} \quad \begin{array}{l}u^{\prime}=1 \\ f^{\prime}(x)=\frac{1 \cdot \sqrt{1+x}-\frac{1}{2 \cdot \sqrt{1+x}} \cdot x}{\sqrt{1+x}} \\ f^{\prime}(x)=\frac{\sqrt{1+x}-\frac{x}{2 \sqrt{1+x}}}{\sqrt{1+x}} \\ \text { Lonung }: \frac{2+x}{2 \sqrt{(1+x)^{3}}}\end{array} \)

Answer 1

Hallo,

1. Aufgabe:

Du musst deine Lösung noch ein wenig bearbeiten.

Multipliziere den Nenner aus und kürze alles durch x

\(\frac{-x^4-12x^2+16x}{x^6-4x^5+4x^4}\\ =\frac{-x^3-12x+16}{x^5-4x^4+4x^3}\)

Im Nenner \(x^3\) ausklammern:

\(=\frac{-x^3-12x+16}{x^3(x^2-4x+4)}\)

Die Klammer mit der 2. Binomischen Formel umwandeln:

\(=\frac{-x^3-12x+16}{x^3(x-2)^2}\)

Gruß, Silvia

Comments

hi danke. wieso darf man x durch alle teilen??

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Solange in jedem Summanden ein x enthalten ist, darf man das.

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Ok super danke dir. Kannst du mir ev auch bei der zweiten Aufgabe helfen?

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Bitte noch etwas Geduld, ich bin dabei.

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Aufgabe 2

Bei der Ableitung mit der Quotientenregel steht im Nenner \(v^2\), hier also \( \sqrt{1+x}^2=1+x \)

\(f'(x)=\frac{\sqrt{1+x}-\frac{x}{2\sqrt{1+x}}}{1+x}\)

Bruch aufteilen zur besseren Übersicht:

\(f'(x)=\frac{\sqrt{1+x}}{1+x}-\frac{x}{\sqrt{1+x}\cdot(1+x)}\\ =\frac{1}{\sqrt{1+x}}-\frac{x}{2\sqrt{(1+x)^3}}\)

1. Bruch mit 2(x + 1) erweitern, um auf den gleichen Nenner zu kommen.

\(f'(x)=\frac{2(x+1)-x}{2\sqrt{(1+x)^3}}\)

Ich habe die Wurzeln stehen lassen, weil du sie in deiner Berechnung verwendet hast. Ich finde die Potenzschreibweise aber stellenweise deutlicher, also z.B.

\(\sqrt{1+x}=(1+x)^{\frac{1}{2}}\) oder \(\sqrt{(1+x)^3}=(1+x)^{\frac{3}{2}}\)

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Danke für die 2 Lösung, aber ab dem 2 Bruch versteh ichs einfach nicht mehr wo ist der doopelbruch? ich check einfach gar nix mehr hier

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Ich habe die Aufteilung in zwei Brüche nochmal ausführlich aufgeschrieben:

Ist es jetzt verständlicher?

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ja sher das hilft danke1!!!!

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Schön, weiter geht es dann so: