Matrix angeben mit gegebenen Eigenwerten und Eigenräumen

Question

Hallo,

ich soll eine Matrix angeben, die die Eigenwerte 1 und 2 besitzt mit den zugehörigen Eigenräumen

Eig(A,1)=ℝ * \( \begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix} \) und Eig(A,2)= ℝ * \( \begin{pmatrix} -1\\2 \end{pmatrix} \)

Kann mir hier jemand helfen? Ich habe versucht die Eigenwerte und Eigenvektoren einzusetzen und so die unbekannten für die Felder der Matrix zu bekommen aber komme da nicht weiter.

Comments

Nennen wir die gesuchte Matrix mal \( A \). Und betrachten die lineare Abbildung

$$ \varphi : \mathbb R^2 \to \mathbb R^2, v \mapsto Av $$

Die Eigenvektoren bilden eine Basis \( \mathcal B = \left(  \begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} -1\\2 \end{pmatrix} \right) \).

Wie sieht die Darstellungsmatrix \( M_{\mathcal B}^{\mathcal B}(\varphi) \) aus?

Was musst du machen um die Darstellungsmatrix \( M_{\mathcal E}^{\mathcal E}(\varphi) \) bezüglich der Standardbasis \( \mathcal E = \left(  \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \right) \) zu berechnen?

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Das weiß ich leider nicht :(

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Dann muss du den Weg wohl zu Fuß gehen.

\( A = \begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix} \)

Und jetzt die 2 Gleichungen:

\( A \begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix} \)

\( A \begin{pmatrix} -1\\2 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} -1\\2 \end{pmatrix} \)

in ein Gleichungssystem mit 4 Gleichungen und 4 Unbekannten umwandeln und dann lösen.

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Das ist eher auf meinem Niveau ja :)