Elliptisches Paraboloid z=x²+y² parametrisieren

Question

Aufgabe:

Es sei Γ := {(x, y, z) ∈ R³ \ {0}: x² + y² = z}.
(i) Bestimmen Sie eine Parametrisierung γ : U → R³ mit U ⊂ R² offen von Γ und zeigen Sie, dass
es sich um eine 2-Fläche in R³ handelt.

Problem/Ansatz:

Kann mir vielleicht jemand erklären, wie ich eine parameterisierung bestimme?

Answer 1

Hallo,

du kennst doch bestimmt den "trigonometrischen Pythagoras":$$\sin^2(\varphi)+\cos^2(\varphi)=1$$ Diesen kannst du ausnutzen, indem du damit deine Gleichung nur noch vom Tupel \((\varphi,z)\) abhängig machst:$$\gamma : (0,2\pi]\times \mathbb{R}\setminus \{0\}\to \mathbb{R}^3, \, (\varphi,z)\mapsto \begin{pmatrix} \sqrt{z}\cos(\varphi)\\\ \sqrt{z}\sin(\varphi)\\z \end{pmatrix}$$ Hierbei ist \(U=(0,2\pi]\times \mathbb{R}\setminus \{0\}\) offen.

Was ist eine \(2\)-Fläche? Diese Typologisierung sagt mir nichts.

Comments

Super danke!!!!

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Keine Ursache! VG