Zeigen Sie symmetrische Bilinearform

Question

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Es sei \( A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ b & c\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2 \times 2} \) sowie \( \langle\cdot, \cdot\rangle: \mathbb{R}^{2} \times \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R},(x, y) \mapsto x^{\mathrm{tr}} A y . \)
(a) Zeigen Sie, dass \( \langle\cdot, \cdot\rangle \) eine symmetrische Bilinearform auf \( V=\mathbb{R}^{2} \) ist.
(b) Bestimmen Sie \( \{a, b, c \in \mathbb{R} \mid\langle\cdot, \cdot\rangle \) ist positiv definit \( \} \).

Answer 1

Hallo,

ich zeige zunächst die Symmetrie - dann muss man im zweiten Schritt nur die Linearität in einem der beiden Argumente zeigen (die Linearität im anderen Argument folgt aus der Symmetrie):

Für die Symmetrie ist es unerlässlich zu erkennen, dass die Matrix \(A\) symmetrisch ist, d. h. \(A=A^T\) gilt:$$\langle x,y\rangle=x^TAy=(x^TAy)^T=y^TA^T(x^T)^T=y^TAx=\langle y,x\rangle$$

Zur Linearität im ersten Argument: Sei \(\lambda_1,\lambda_2\in \mathbb{R}\), dann gilt:

$$\begin{aligned}\langle \lambda_1x_1+\lambda_2x_2,y\rangle &=(\lambda_1x_1+\lambda_2x_2)^TAy=(\lambda_1x_1^T+\lambda_2x_2^T)Ay \\ &=\lambda_1x_1^TAy+\lambda_2x_2^TAy=\lambda_1\langle x_1,y\rangle+\lambda_2\langle x_2,y\rangle\end{aligned}$$ Zu (b): Wann gilt:$$\langle x,x\rangle =x^TAx=\begin{pmatrix}x_1 & x_2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} ax_1+bx_1\\bx_2+cx_2 \end{pmatrix}=ax_1^2+b(x_1^2+x_2^2)+cx_2^2>0$$