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Aufgabe:

Gegeben ist die Geradengleichung einer Geraden g:x=\( \begin{pmatrix} x1\\y2\\z3 \end{pmatrix} \) + r × \( \begin{pmatrix} 1x\\y1\\z 0\end{pmatrix} \)

a.) Bestimmen sie eine Geradengleichung einer Geraden h die orthogonal zu g ist.

b.)Bestimmen sie eine Geradengleichung einer Geraden k so  , dass der Winkel zwischen g und k 60 Grad groß ist.

c.)Bestimmen sie eine Geradengleichung einer Geraden l so , dass der Winkel zwischen g und l 45 Grad groß ist.
Problem/Ansatz:

leider habe ich keinen Ansatz um diese Aufgaben zu bearbeiten, daher bitte ich hier um eure Hilfe Ich würde mich freuen wenn ihr mir Helfen würdet.

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... dass der Winkel zwischen g und L 45 Grad groß ist.

Was soll \(L\) sein?

Entschuldigen habe mich vertippt ist nun korrigiert.

2 Antworten

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Geraden sind orthogonal, wenn das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren gleich Null ist.

Geraden bilden eine Winkel von 60°, wenn das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren gleich dem halben Produkt ihrer Beträge ist.

Geraden bilden eine Winkel von 45°, wenn das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren gleich dem halben Produkt ihrer Beträge multipliziert mit √2 ist.

Avatar von 123 k 🚀
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Hallo Leopold,

Willkommen in der Mathelounge!

Winkel zwischen Vektoren werden über das Skalarprodukt berechnet. Sei ein Winkel zischen zwei Vektoren \(\vec u\) und \(\vec v\) gleich \(\alpha\), so gilt:$$\cos \alpha = \frac{\vec u \cdot \vec v}{|\vec u|\cdot|\vec v|}$$Weiter ist $$\cos(90°) = 0,\quad \cos(45°)=\frac 12 \sqrt 2, \quad \cos(60°) = \frac 12$$Ist also der Richtungsvektor \(\vec u\) der Geraden$$\vec u = \begin{pmatrix}u_1\\ u_2\\ u_3\end{pmatrix}$$dann gilt es einen zweiten Vektor $$\vec v = \begin{pmatrix}v_1\\ v_2\\ v_3\end{pmatrix}$$zu finden, dessen Skalarprodukt mit \(\vec u\) den gewünschten Wert ergibt. Bei \(\cos 90°=0\) ist dies noch einfach:$$\vec v = \begin{pmatrix}u_2\\ -u_1\\ 0\end{pmatrix}, \quad u_1 \ne 0 \lor u_2 \ne 0$$Man nehme sich zwei Koordinaten von \(\vec u\), von denen mindestens eine ungleich 0 ist, vertausche diese und negiere eine. Die dritte Koordinate ist 0. In diesem Fall ist \(\vec u \cdot \vec v = 0\) und die Gerade \(h\) ist$$h: \quad \vec x = \begin{pmatrix} x1\\y2\\z3 \end{pmatrix} +r \cdot \begin{pmatrix}u_2\\ -u_1\\ 0\end{pmatrix} $$Bei Werten von \(\cos \alpha \ne 0\) bestimme genauso einen Vektor \(\vec u^\perp\), der senkrecht auf \(\vec u\) steht (s.o) und bilde$$\vec v = \vec u + a \vec u^\perp$$und den Wert für \(a\) berechnet man dann aus$$\cos \alpha = \frac{\vec u(\vec u + a \vec u^\perp)}{|\vec u| \sqrt{|\vec u|^2 + a^2  |\vec u^\perp|^2}} = \frac{\vec u^2}{|\vec u|^2 \sqrt{1+\frac{|\vec u^\perp|^2}{|\vec u|^2} a^2}} \\ \implies a = \frac{|\vec u|}{|\vec u^\perp|} \sqrt{\frac 1{\cos^2 \alpha} - 1}$$Gruß Werner

Avatar von 48 k

ich habe meine Antwort nochmal korrgiert. Es gilt ja in \(\mathbb R^3\) im allgemeinen, dass \(|\vec u|\ne |\vec u^\perp|\), wenn man \(\vec u^\perp\) nach der von mir oben beschriebenen Methode bildet.

Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

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