Geradengleichung mit Vektoren ermitteln

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Geradengleichung einer Geraden g:x=\( \begin{pmatrix} x1\\y2\\z3 \end{pmatrix} \) + r × \( \begin{pmatrix} 1x\\y1\\z 0\end{pmatrix} \)

a.) Bestimmen sie eine Geradengleichung einer Geraden h die orthogonal zu g ist.

b.)Bestimmen sie eine Geradengleichung einer Geraden k so  , dass der Winkel zwischen g und k 60 Grad groß ist.

c.)Bestimmen sie eine Geradengleichung einer Geraden l so , dass der Winkel zwischen g und l 45 Grad groß ist.
Problem/Ansatz:

leider habe ich keinen Ansatz um diese Aufgaben zu bearbeiten, daher bitte ich hier um eure Hilfe Ich würde mich freuen wenn ihr mir Helfen würdet.

Comments

... dass der Winkel zwischen g und L 45 Grad groß ist.

Was soll \(L\) sein?

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Entschuldigen habe mich vertippt ist nun korrigiert.

Answer 1

Geraden sind orthogonal, wenn das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren gleich Null ist.

Geraden bilden eine Winkel von 60°, wenn das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren gleich dem halben Produkt ihrer Beträge ist.

Geraden bilden eine Winkel von 45°, wenn das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren gleich dem halben Produkt ihrer Beträge multipliziert mit √2 ist.

Answer 2

Hallo Leopold,

Willkommen in der Mathelounge!

Winkel zwischen Vektoren werden über das Skalarprodukt berechnet. Sei ein Winkel zischen zwei Vektoren \(\vec u\) und \(\vec v\) gleich \(\alpha\), so gilt:$$\cos \alpha = \frac{\vec u \cdot \vec v}{|\vec u|\cdot|\vec v|}$$Weiter ist $$\cos(90°) = 0,\quad \cos(45°)=\frac 12 \sqrt 2, \quad \cos(60°) = \frac 12$$Ist also der Richtungsvektor \(\vec u\) der Geraden$$\vec u = \begin{pmatrix}u_1\\ u_2\\ u_3\end{pmatrix}$$dann gilt es einen zweiten Vektor $$\vec v = \begin{pmatrix}v_1\\ v_2\\ v_3\end{pmatrix}$$zu finden, dessen Skalarprodukt mit \(\vec u\) den gewünschten Wert ergibt. Bei \(\cos 90°=0\) ist dies noch einfach:$$\vec v = \begin{pmatrix}u_2\\ -u_1\\ 0\end{pmatrix}, \quad u_1 \ne 0 \lor u_2 \ne 0$$Man nehme sich zwei Koordinaten von \(\vec u\), von denen mindestens eine ungleich 0 ist, vertausche diese und negiere eine. Die dritte Koordinate ist 0. In diesem Fall ist \(\vec u \cdot \vec v = 0\) und die Gerade \(h\) ist$$h: \quad \vec x = \begin{pmatrix} x1\\y2\\z3 \end{pmatrix} +r \cdot \begin{pmatrix}u_2\\ -u_1\\ 0\end{pmatrix} $$Bei Werten von \(\cos \alpha \ne 0\) bestimme genauso einen Vektor \(\vec u^\perp\), der senkrecht auf \(\vec u\) steht (s.o) und bilde$$\vec v = \vec u + a \vec u^\perp$$und den Wert für \(a\) berechnet man dann aus$$\cos \alpha = \frac{\vec u(\vec u + a \vec u^\perp)}{|\vec u| \sqrt{|\vec u|^2 + a^2  |\vec u^\perp|^2}} = \frac{\vec u^2}{|\vec u|^2 \sqrt{1+\frac{|\vec u^\perp|^2}{|\vec u|^2} a^2}} \\ \implies a = \frac{|\vec u|}{|\vec u^\perp|} \sqrt{\frac 1{\cos^2 \alpha} - 1}$$Gruß Werner

Comments

ich habe meine Antwort nochmal korrgiert. Es gilt ja in \(\mathbb R^3\) im allgemeinen, dass \(|\vec u|\ne |\vec u^\perp|\), wenn man \(\vec u^\perp\) nach der von mir oben beschriebenen Methode bildet.

Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.