Zeigen Sie, dass {T(e1),...,T(en)} eine Basis für W ist.

Question

Aufgabe:

Es seien $V$ und $W$ zwei endlichdimensionale, isomorphe Vektorräume über einem Körper
$K$. Zeigen Sie, dass $\operatorname{dim} V=\operatorname{dim} W$.
[Hinweis: Es seien $\left\{e_{1}, \ldots, e_{n}\right\}$ eine Basis für $V$ und $T: V \rightarrow W$ ein Isomorphismus. Zeigen Sie, dass $\left\{T\left(e_{1}\right), \ldots, T\left(e_{n}\right)\right\}$ eine Basis für $W$ ist.]

Answer 1

Hallo,

Die Vektorräume $V$ und $W$ sind isomorph, geschrieben $V≅W$, genau dann, wenn zwischen ihnen ein Isomorphismus $\varphi: V\to W$ exisitiert.

Als Isomorphismus ist $\varphi$ insbesondere ein Monomorphismus (Homomorphismus + injektiv) und ein Epimorphismus (Homomorphismus + surjektiv). Wir müssen nun zweierlei zeigen:

Sei $\mathcal{V}$ eine Basis von $V$, zu zeigen ist, dass:

$f(\mathcal{V})$ ist linear unabhängig + ein Erzeugendensystem von $W$.

Stell dir hierzu folgende Fragen:

Warum erhalten Monomorphismen lineare Unabhängigkeit?

Warum erhalten Epimorphismen Erzeugendensysteme?