Zeigen Sie, dass {T(e1),...,T(en)} eine Basis für W ist.

Question

Aufgabe:

Es seien \( V \) und \( W \) zwei endlichdimensionale, isomorphe Vektorräume über einem Körper
\( K \). Zeigen Sie, dass \( \operatorname{dim} V=\operatorname{dim} W \).
[Hinweis: Es seien \( \left\{e_{1}, \ldots, e_{n}\right\} \) eine Basis für \( V \) und \( T: V \rightarrow W \) ein Isomorphismus. Zeigen Sie, dass \( \left\{T\left(e_{1}\right), \ldots, T\left(e_{n}\right)\right\} \) eine Basis für \( W \) ist.]

Answer 1

Hallo,

Die Vektorräume \(V\) und \(W\) sind isomorph, geschrieben \(V≅W\), genau dann, wenn zwischen ihnen ein Isomorphismus \(\varphi: V\to W\) exisitiert.

Als Isomorphismus ist \(\varphi\) insbesondere ein Monomorphismus (Homomorphismus + injektiv) und ein Epimorphismus (Homomorphismus + surjektiv). Wir müssen nun zweierlei zeigen:

Sei \(\mathcal{V}\) eine Basis von \(V\), zu zeigen ist, dass:

\(f(\mathcal{V})\) ist linear unabhängig + ein Erzeugendensystem von \(W\).

Stell dir hierzu folgende Fragen:

Warum erhalten Monomorphismen lineare Unabhängigkeit?

Warum erhalten Epimorphismen Erzeugendensysteme?