Bestimmen Sie in allen kritischen Punkten das Taylor-Polynom zweiter

Question

Aufgabe: Untersuchen die Funktion f : R^3 → R

        f(x, y, z) = x² +2xy+2x+1/3y³+1/2y²+2z²

Problem/Ansatz: auf lokale Extrema. Bestimmen Sie in allen kritischen Punkten das Taylor-Polynom zweiter

Ordnung von f.

Comments

Und wo gibt es Schwierigkeiten? Beim Finden der Extrema oder beim Aufstellen der Taylorpolynome 2. Ordnung von multivariaten Funktionen?

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Um ehrlich zu sein bei beiden für die extrema muss ich die funktion partiell jeweils nach x y z ableiten. Wie geht es genau weiter ?

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Und was hast Du für Ableitungen?

Ich denke, die haben es Dir einfach gemacht und nur eine Extremstelle eingebaut, nämlich bei x = -3, y = 2, z = 0.

Und nochmals einfacher, indem nach dem Taylorpolynom an allen kritischen Punkten gefragt wird, man muss also nicht herausfinden, welcher eine Extremstelle ist.

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Nach x abgeleitet 2x+2
nach y 2y+y²  +y
nach z = 4z

Woran siehst du die Extremstelle ?

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Die ersten zwei Ableitungen sind falsch.

In der Hesse-Matrix stehen dann halt neun Elemente anstatt vier.

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jo hast recht 2x+2y+2 und 2x+y^2+y

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Dieses Gleichungssystem gelöst gibt zwei kritische Punkte, einer davon die von mir gefundene Extremstelle. Ich komme heute nicht dazu, die ganze Aufgabe zu beantworten, das wird aber sicher irgendjemand machen. Bis dahin empfehle ich, in einem schlauen Buch die Taylorreihe für trivariate Funktionen zu finden. Oder bei https://www.mathelounge.de/348070/taylorpolynom-ausrechnen nachzuschauen.

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Danke schonmal für den Ansatz!

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Für die beiden kritischen Punkte spuckt Matlab aus:

Dies als Kontrolllösung, Du willst ja wahrscheinlich den Lösungsweg können.

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ich hab jetzt alles soweit nachgerechnet nur fehlen mir beim taylorpolynom die -13/3 und die +1/6 ist das der rest oder woher kommst du auf die zahlen ?

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Ich schrieb ja: "spuckt Matlab aus". Es ist nicht der Rest.