Zeigen, dass die Folge c gegen k konvergiert.

Question

Aufgabe:

Ich soll zeigen, dass diese rekursive Folge: c₀ := 1 , c_n+1 := 1 +\( \frac{1}{cn} \)  (Im unteren Bruch soll c_n, nicht cn stehen)

gegen k konvergiert, wobei k die Lösung von \( k^{2} \)-k-1 = 0 ist, mit k>0 ist.

Problem/Ansatz:

Hat da jemand ne Idee?

LG Mathcrack

Answer 1

Kettenbruchentwicklung der Goldenen Zahl.

Comments

Was ist das? Habe noch nie davon gehört... und kann man das auf alle Folgen anwenden oder nur diese hier?

LG Mathcrack

---

Die positive Lösung der Gleichung \(k^2-k-1 = 0\) heißt goldene Zahl.

Ein Term der Form $$a + \frac{b}{c+\frac{d}{e+\frac{f}{\ddots}}}$$ heißt Kettenbruch.

In deinem Fall ist \(a=b=c=d=f=\dots = 1\). Das ist die Kettenbruchentwicklung der goldenen Zahl.

Dieser Zusammenhang ist recht bekannt. Du wirst also wohl durch Recherche im Internet einen Beweis finden.