Beweis dass die Folge a_k:= (2^{k}+5^{k})^(1/k) gegen 5 konvergiert

Question

Gegeben ist folgende Aufgabe zu der ich den Grenzwert berechnen soll:

$$(a_k)_{k\in\mathbb{N}}:= \sqrt[k]{2^k+5^k} $$

Ist meine Beweisführung schlüssig? Wenn nicht kann einer dann posten was ich ändern sollte?

$$(a_k)_{k\in\mathbb{N}}:= \sqrt[k]{2^k+5^k} \\ (\sqrt[1]{2^1+5^1}=7;\sqrt[2]{2^2+5^2}\approx 5,3851;\sqrt[3]{2^3+5^3}\approx 5,1044;\sqrt[4]{2^4+5^4}\approx 5,0316) \\[10pt] \text{Behauptung: } \lim\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{2^k+5^k}=5 \\\text{Beweis: } \\\text{ Sei ε>0 wähle dann  }n_0: n_0 \leq 5  \forall \vert\sqrt[k]{2^k+5^k}-5\vert \lt ε : \forall k \gt n_0 \\\Longrightarrow \vert\sqrt[k]{2^k+5^k}-5\vert \lt ε \Longleftrightarrow \sqrt[k]{2^k+5^k}-5 \lt ε \\\Longleftrightarrow \sqrt[k]{2^k+5^k} \lt ε+5 \\[10pt]\text{Beweis 1.1:} \\\text{Durch den Definition des binomischen Lehrsatzes lässt sich folgendes umschreiben: } \\\sqrt[k]{2^k+5^k}=({2^k+5^k})^{\frac{1}{k}} = \begin{pmatrix} \frac{1}{k}\\0 \end{pmatrix}*(2^k)^{\frac{1}{k}}*(5^k)^{\frac{1}{k}}+..... \\({2^k+5^k})^{\frac{1}{k}}= 1*2*5+..... \\({2^k+5^k})^{\frac{1}{k}} \gt 10 \\\text{Einsetzen in den Hauptbeweis: } \\\Longrightarrow ({2^k+5^k})^{\frac{1}{k}} \gt 10 \lt ε+5 \\\Longleftrightarrow  10-5\lt ε \\\Longleftrightarrow 5\lt ε \\\Longrightarrow n_0 \leq 5\lt ε$$

Comments

Tipp: Zeige, dass \(5<a_k<5\cdot\sqrt[k]2\) für alle \(k\in\mathbb N\) gilt und wende den Einschnürungssatz an.

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Danke für den Tipp!

Meinst du vielleicht mit dem Einschnürungssatz den Sandwitchsatz?

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Ja. Einschnürungssatz, Sandwichsatz oder Quetschlemma. Es gibt dafür noch mehr Bezeichnungen.

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Dank dem Tip von Spacko habe ich die Aufgabe so gelöst:

$$\text{Bestimme den Grenzwert von: } a_k:= \sqrt[k]{2^k+5^k} \\\forall k\in \mathbb{N}: \sqrt[k]{5} \leq \sqrt[k]{2^k+5^k} \leq \sqrt[k]{5^k+5^k} \\\Longleftrightarrow 5 \leq \sqrt[k]{2^k+5^k} \leq 5\sqrt[k]{2} \\[5pt] \text{ Beweis 1.1: Bestimme die konvergenz von: } 5\sqrt[k]{2} \\\text{ Beweis 1.2: Bestimme die konvergenz von: } \sqrt[k]{2} \\ \forall k \in \mathbb{N}, k\geq2: \sqrt[k]{1}\leq \sqrt[k]{2} \leq\sqrt[k]{k} \\\Longleftrightarrow 1 \leq \sqrt[k]{2} \leq \sqrt[k]{k} \\\text{ Ich habe bereits bewiesen, dass: } \lim\limits_{k\to\infty} \sqrt[k]{k}=1 \\\text{ Diesen Beweis werde ich ein andersmal zeigen.} \\\Longrightarrow 1 \leq \sqrt[k]{2} \leq 1 \Longrightarrow \lim\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{2}=1 \\\text{ Einsetzen in den Beweis 1.1:} \\\Longrightarrow \lim\limits_{k\to\infty}5 *\lim\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{2}= 5*1=5 \\\text{ Einsetzen in den Hauptbeweis:} \\\Longrightarrow 5 \leq \sqrt[k]{2^k+5^k} \leq 5 \Longrightarrow \lim\limits_{k\to\infty} \sqrt[k]{2^k+5^k}=5 \blacksquare$$

Answer 1

Hallo

 was du in deinem Beweis machst verstehe ich nicht. 1. n0<5 ist recht sinnlos, später kommt dann  der binomische Satz falsch, und unter anderem (2^k+5^k)^1/k >10 wobei du willst dass das für große k nahe an 5 ist?

du musst den Beweis leider in den Papierkorb werfen, entweder Sandwich oder nach unten beschränkt und monoton fallend sind Wege.

Gruß lul