Zeigen Sie, dass dim V = n gilt.

Question

Aufgabe:

Sei \( V \) ein endlich-dimensionaler \( K \) -Vektorraum. Eine aufsteigende Folge von Unterräumen

$$ U_{0} \subsetneq U_{1} \subsetneq \cdots \subsetneq U_{k} \subseteq V $$

heißt eine Kette der Länge \( k \) in \( V \). Sei \( n=\max \{k \geq 0: \) es gibt eine Kette der Länge \( k \) in \( V\} \).

Zeigen Sie, dass \( \operatorname{dim} V=n \) gilt.