Bestimmen sie die Gerade so, dass sie keinen gemeinsamen Punkt mit der Ebene hat

Question

Es sind eine Geradenschar 

$$ { g }_{ q }:\xrightarrow { x } =\left( \begin{matrix} 1 \\ -6 \\ -3 \end{matrix} \right) +t\left( \begin{matrix} 0 \\ -3 \\ a \end{matrix} \right) $$ und $$ E:\xrightarrow { x } =\left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \\ 2 \end{matrix} \right) +r\left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{matrix} \right) +s\left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right) $$

gegeben.

Bestimmen sie a so, dass g_a mit E keinen gemeinsamen Punkt hat.

 

Unser Lehrer hat das nicht erklärt und einfach gesagt, dass wir das mal machen sollen. Ich weiß nicht genau, wie das geht, aber ich vermute, dass man a so bestimmen muss, dass g_a zu E parallel ist. Wenn mir einer sowas mal vorrechnen könnte wäre ich sehr dankbar.

Answer 1

 

"dass wir das mal machen sollen." - Seltsame Vorgehensweise :-)

 

Mit Deiner Vermutung, dass g_a zu E parallel sein muss, hast Du natürlich Recht!

Wir bestimmen die Normale zu E, also die Gerade, die zu beiden Richtungsvektoren von E senkrecht ist.

Und dann schauen wir, dass der Richtungsvektor zu dieser Normalen ebenfalls senkrecht ist.

 

Normale zu E durch Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:

(1|-1|0) X (2|1|1) = (-1|-1|3)

Und dieser Vektor soll nun senkrecht zum Richtungsvektor von g_a sein.

(0|-3|a) * (-1|-1|3) = 0 * (-1) - 3 * (-1) + a * 3 = 0

3 + 3a = 0

3a = -3

a = -1

 

Lässt sich der Richtungsvektor jetzt als Linearkombination der Richtungsvektoren von E darstellen?

(0|-3|-1) = r * (1|-1|0) + s * (2|1|1)

0 = r + 2s

-3 = -r + s

-1 = s

 

r - 2 = 0

r = 2

 

Ja, das klappt :-D

 

Besten Gruß

Answer 2

Die Gerade ist parallel zur Ebene, wenn ihr Richtungsvektor senkrecht zum Normalenvektor der Ebene ist.

Normalenvektor der Ebene:

(1/-1/0) x (2/1/1) = (3/0/1)    (Kreuzprodukt)

Senkrecht heißt, Skalarprodukt muss 0 sein:

(0/-3/a) * (3/0/1) = 0

⇔ 0 + 0 + a  = 0

Also muss a = 0 sein, damit die Gerade und die Ebene keinen gemeinsamen Punkt haben.

Comments

@HGF:

 

Deine Vorgehensweise ist natürlich richtig, allerdings hast Du beim Kreuzprodukt einen Rechenfehler eingebaut:

Das Kreuzprodukt ist

(-1|-1|3)

Daraus folgt

a = -1 ≠ 0

 

Besten Gruß

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Ich Drops hab addieren gedrückt, statt Vektorprodukt.

Danke.

Dann ist der Vektor natürlich (-1/-1/3)

Woraus sich dann ergibt:

(0/-3/a) * (-1/-1/3) = 0

⇔ 0 + 3 + 3a  = 0

a = -1

Also muss a= -1 sein, damit Gerade und Ebene parallel sind.

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@HGF:

Kein Problem: "Vertippen ist menschlich"

:-D

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Geht es auch irgendwie ohne Kreuzprodukt?


Kreuzpordukt hatten wir bisher nicht oder gibt es da kein anderes Verfahren?

Answer 3

Hi

g: (1, -6, -3) + t(0, -3, a)
E: (-1, 3, 2) + r(1, -1, 0) + s(2, 1, 1)

Wenn die Gerade ga parallel zur Ebene ist und wenn ihr Ortsvektor
(1, -6, -3) kein Punkt der Ebene ist, dann hat sie mit der Ebene keinen gemeinsamen Punkt.
Ist die Gerade ga parallel zur Ebene und ist ihr Ortsvektor ein Punkt der Ebene, dann liegt
die Gerade vollständig in der Ebene.

Wir bestimmen zuerst einen Richtungsvektor der Geraden ga, der parallel zur Ebene verläuft.
Das ist der Fall, wenn der Richtungsvektor senkrecht zum Normalenvektor der Ebene steht.
Wir berechnen einen Normalenvektor der Ebene per Kreuzprodukt:

n = (1, -1, 0)x(2, 1, 1)
n = (-1, -1, 3)

Der Richtungsvektor (0, -3, a) steht senkrecht auf (-1, -1, 3), wenn das Skalarprodukt verschwindet.
(0, -3, a) * (-1, -1, 3) = 0
3 + 3a = 0
3a = -3
a = -1
Der Richtungsvektor (0, -3, -1) steht senkrecht auf (-1, -1, 3)

Wir müssen noch checken, ob der Ortsvektor (1, -6, -3) ein Punkt der Ebene ist.
Das darf er ja nicht sein, denn sonst wäre die Gerade vollständig in der Ebene enthalten.
Wir setzen den Ortsvektor in die Gleichung  ein:
(1, -6, -3) = (-1, 3, 2) + r(1, -1, 0) + s(2, 1, 1)
Daraus erhalten wir das Gleichungssystem:

I)   r + 2s = 2
II) -r + s = -9
III) s = -5

s in II)
-r -5 = -9
r = 4

s und r in I)

4 + 2(-5) = 4 - 10 = -6 ≠ 2
Der Ortsvektor (1, -6, -3) ist kein Punkt der Ebene, wir haben eine
Gerade bestimmt, die keinen gemeinsamen Punkt mit der Ebene hat:
ga = (1, -6, -3) + t(0, -3, -1)