Berechnen Sie hierzu den Flächeninhalt des Rotationsparaboloids abhängig von H und α.

Question

Aufgabe:

Der Boden eines Teiches der Tiefe H besitzt die Form eines Rotationsparaboloids

z(x,y)= \( \frac{1}{2} \) α(x^2+y^2)

Wie viel Teichfolie wird zur Auskleidung benötigt? Berechnen Sie hierzu den Flächeninhalt des Rotationsparaboloids abhängig von H und α.

Problem/Ansatz:

Habe hier leider gar keinen Ansatz, da ich nicht darauf komme, wie ich H hier verbaue.

Answer 1

Hallo Lisa,

Der Wert \(H\) gibt die Tiefe an, und damit die maximale Ausdehung des Paraboloiden in Z-Richtung. Der Wert für \(z\) läuft also von \(0\) bis \(H\). Ich setze \(r^2=x^2+y^2\), dann ist $$z(r) = \frac 12 \alpha r^2 \\ z_{\max} = H = \frac 12 \alpha R^2 \implies R = \sqrt{\frac{2H}{\alpha}}$$und dieses \(R\) ist dann der Radius des Teiches an der Oberfläche.

Falls Du dazu noch weitere Fragen hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner