Analysis: Lernen und vergessen
Bei einem psychologischen Test sollte eine Person innerhalb von 15 Minuten eine maximale Anzahl von Wörtern lernen und erinnern. Dabei ergab sich die folgende Lernkurve:
Lernrate: w(t) [Wörter pro Minute]
Zeit: t [min]
w(t) = 2/125·t^3 - 2/5·t^2 + 12/5·t
a) Interpretieren Sie das Diagramm (Lernphasen erklären).
Die ersten 3.9 Minuten steigt die Lernrate kontinuierlich an und erreicht mit einer Lernrate von ca. 4.2 Wörtern pro Minute das Maximum. Danach sinkt die Lernrate ab und erreicht nach 10 Minuten den Nullpunkt. Ab der 10 Minute werden statt Wörter zu lernen bereits gelernte Wörter wieder vergessen. Dieses Vergessen nimmt bis zur 12.7 Minute zu um dann bis zur 15 Minute wieder abzunehmen.
b) Berechnen Sie die Fläche unter der Kurve im Intervall [0 ; 15] mit Hilfe einer Rechtecksumme mit 5 Teilintervallen. Interpretieren Sie die Berechnung und das Ergebnis.
...
c) Berechnen Sie die folgenden Integralwerte und interpretieren Sie die Ergebnisse.
w(t) = 2/125·t^3 - 2/5·t^2 + 12/5·t
W(t) = 1/250·t^4 - 2/15·t^3 + 6/5·t^2
∫ (0 bis 10) w(t) dt = 26.7
Innerhalb der ersten 10 Minuten wurden ca. 26.7 Wörter gelernt.
∫ (10 bis 15) w(t) dt = -4.2
Von der 10. bis zur 15. Minute wurden von den gelernten Wörtern wieder 4.2 vergessen.
∫ (0 bis 15) w(t) dt = 22.5
Die Gesamtanzahl der gelernten Wörtern beträgt während der 15 Minuten ca. 22.5 Wörter.
d) Geben Sie eine Integralformel zur Berechnung der durchschnittlichen Lernrate an. Erklären Sie die Anwendung der Formel am obigen Beispiel.
∫ (0 bis 15) w(t) dt / (15 - 0) = 1.5
Es wurden durchschnittlich über den Zeitraum von 15 Minuten etwa 1.5 Wörter pro Minute gelernt.
