Aloha :)
$$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n\,n}{n^3+1}=\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^na_n\quad;\quad a_n\coloneqq\frac{n}{n^3+1}$$
Nach dem Leibniz-Kriterium ist du zeigen, dass \((a_n)\) eine monoton fallende Nullfolge ist:
$$a_{n+1}-a_n=\frac{n+1}{(n+1)^3+1}-\frac{n}{n^3+1}=\frac{(n+1)(n^3+1)-n((n+1)^3+1)}{((n+1)^3+1)(n^3+1)}$$$$\phantom{a_{n+1}-a_n}=\frac{(n^4+n^3+n+1)-(n^4+3n^3+3n^2+2n)}{((n+1)^3+1)(n^3+1)}$$$$\phantom{a_{n+1}-a_n}=\frac{-2n^3-3n^2-n+1}{((n+1)^3+1)(n^3+1)}<0$$Die Folge \((a_n)\) ist also streng monoton fallend.
$$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{n^3+1}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^2+\frac{1}{n}}\le\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}=0$$Damit ist die Folge \((a_n)\) eine Nullfolge.
Nach dem Leibniz-Kriterium ist die Reihe daher konvergent.
