Konvergenz von Reihen / Reihenkriterien

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie das Konvergenzverhalten der Reihe \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} a_{k} \).

(a) \( a_{k}=\frac{k}{k+1} \)

(b) \( a_{k}=\left(\frac{k+1}{2 k+1}\right)^{k} \)

(c) \( a_{k}=\frac{2^{k}}{k !} \)

(d) \( \quad a_{k}=\frac{(-1)^{k+1}}{\sqrt{k}} \)

(e) \( a_{k}=\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{k} \)

(f) \( a_{k}=\sqrt{k^{2}+1}-k \)

Ich möchte mal meine Ergebnisse kontrollieren lassen. Ich bin mir nämlich nicht sicher, ob ich die Reihen und deren Konvergenz so auf Anhieb verstanden habe.

a) Konvergiert, da a_k eine Nullfolge ist. D.h. es wird ein immer kleinerer Teil hinzuaddiert, sodass sie folglich auf einen Punkt hin verläuft.

b) Konvergiert. Hier wird auch ein immer kleiner Teil hinzuaddiert.

c) Konvergiert. Auch hier wird ein immer kleiner Teil hinzuaddiert, sofern k immer größer wird.

d) Konvergiert. Leibniz-Kriterium. 1 / √k ist streng monoton fallend.

e) Konvergiert. Quotienten-Kriterium. |a_k+1 / a_k| < 1 ist erfüllt.

f) Konvergiert. Minoranten-Kriterium. ∑ b_k=√(k²) - k = 0 und das ist < 1 

(Startwert k=1 bis oo)

Ist das alles soweit richtig?

Answer 1

a) Das ist leider keine Nullfolge, da $$\frac{k}{k+1} = \frac{1}{1 + \frac{1}{k}} \rightarrow 1$$. Damit divergiert die Reihe. Es ist auch keine hinreichende Bedingung, dass die Folge eine Nullfolge ist. Du kannst sicher sein, dass die Reihe nicht konvergiert, wenn es keine Nullfolge ist, aber sie konvergiert nicht unbedingt, wenn es eine Nullfolge ist. Siehe die (divergente) harmonische Reihe: 1/k ist auch eine Nullfolge.

c) deine Begründung reicht nicht, wie bei a). Quotientenkriterium wird bestimmt eine Antwort liefern.

d) richtig.

e) Ja, aber wie hast du das gemacht? Denke nicht, dass man mit dem Quotientenkritierium dort weit kommt.

f) für eine Minorante brauchst du eine divergente Reihe, keine konvergente

Comments

Habe bei f) das k aus der Wurzel gezogen: 

k√(1+1/k) -k ... wenn jetzt k immer größer wird, so läuft das Ganze ja gegen k√(1) - k = k-k  = 0 

 

richtig? 

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Bin mir bei der c) etwas unsicher. Nach anwenden des Quotientenkriteriums komme ich auf 2/(k+1)≤1/2 für alle k≥3. Somit konvergiert die Reihe.

Kann ich das so stehen lassen bzw. ist das überhaupt richtig?

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Kann mir bei der f) jemand helfen? Komme da irgendwie auf keinen grünen Zweig. 

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Eine Möglichkeit: Für alle \(k\in\mathbb N\) gilt$$\quad \frac 1{2k+1}>\frac1{(2k+1)^2}\\\Leftrightarrow1-\frac{2k}{2k+1}>\frac1{(2k+1)^2}\\\Leftrightarrow1+k^2>\frac1{(2k+1)^2}+\frac{2k}{2k+1}+k^2=\left(\frac1{2k+1}+k\right)^2\\\Leftrightarrow\sqrt{k^2+1}>\frac1{2k+1}+k\\\Leftrightarrow\sqrt{k^2+1}-k>\frac1{2k+1}.$$Daher folgt die Divergenz der Reihe (f) aus der Divergenz der harmonischen Reihe.

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Das ist sehr gut nachvollziehbar. Kannst du vielleicht noch was zur c) sagen (siehe mein Kommentar weiter oben)? Wäre echt super!

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Zu (c). Das ist korrekt. Quotientenkriterium: Für alle \(k\in\mathbb N\) mit \(k>1\) gilt$$\frac{a_{k+1}}{a_k}=\frac{2^{k+1}}{(k+1)!}\cdot\frac{k!}{2^k}=\frac{2\cdot2^k}{(k+1)\cdot k!}\cdot\frac{k!}{2^k}=\frac2{k+1}\leq\frac23<1.$$Daraus folgt Konvergenz.