ganzrationale Funktionmit Bedingung

Question

2.1 Gegeben ist die Gleichung einer ganzrationale Funktion in der Form


f(x)=(x-a)*(x-b)*(x-c)    a,b,c∈IR


Wie lautet jeweils die Funktionsgleichung f(x), wenn der Graph von f


2.1.1. bei x=-2, x=1 und x=1 die x-Achse schneidet?


2.1.2   bei x=-2 die x Achse schneidet und bei x=1 berührt?


2.1.3.    bei x=1 einen Sattelpunkt hat, der auf der x- Achse liegt ?


Wie geht man hier am besten vor ?


Aufgrund welcher Methode erkennt man , wie oft die x - Achse geschnitten , berührt und .... ist ?

Answer 1

2.1.1)

bei x=-2, x=1 und x=1 die x-Achse schneidet?

Hier sollte es sicher heißen:

bei x=-2, x= minus 1 und x=1 die x-Achse schneidet?

Nun, dann hat die Funktion drei einfache Nullstellen. In die angegebene allgemeine Form (Nullstellenform)  müssen dann also alle drei Nullstellen eingesetzt werden. Sie lautet dann:

f ( x ) = ( x - ( - 2 ) ) * ( x - ( - 1 ) ) * ( x - 1 )

= ( x + 2 ) * ( x + 1 ) * ( x - 1 )

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%2B2%29*%28x%2B1%29*%28x-1%29

 

2.1.2)  Dann hat die Funktion eine einfache Nullstelle bei x = - 2 und eine doppelte Nulstelle bei x = 1 . In die Nullstellenform muss dann also in einen der Linearfaktoren die - 2 und in die beiden anderen die 12 eingesetzt werden. man erhält: 

  f ( x ) = x ( - ( - 2 ) ) * ( x - 1 ) * ( x - 1 )

= ( x + 2 ) * ( x - 1 )²

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%2B2%29*%28x-1%29^2

 

2.1.3) Dann hat die Funktion bei x = 1 eine dreifache Nullstelle. In die Nullstellenform muss dann also dreimal die 1 eingesetzt werden. Man erhält:

f ( x ) = ( x - 1 ) * ( x - 1 ) * ( x - 1 ) = ( x - 1 ) ³

https://www.wolframalpha.com/input/?i=+%28x-1%29^3

Bei einfachen Nullstellen wird die x-Achse geschnitten, bei doppelten Nullstellen wird sie berührt und bei dreifachen Nullstellen liegt ein Sattelpunkt vor.