ich habe hier insgesammt 3 Aufgaben. 2 habe ich (zumindest denke ich das) richtig gelöst nur verstehe nicht warum :-D
Für die dritte Aufgabe habe ich leider noch keinen Lösungsansatz und bräuchte da Eure Hilfe :)
1)
Geben Sie zwei geeignete quadratische Matrizen A und B an, für die gilt:
$$det(A+B) \neq det(A) + det(B) $$
Hier habe ich für A: $$\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$$
Und für B : $$\begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 4 & 8 \end{pmatrix}$$
gewählt (ohne irgendeinen hintergedanken dabei) und kam dann auf
det(A) = -8
det(B) = -8
A + B ergibt: $$\begin{pmatrix} 3 & 9 \\ 6 & 12 \end{pmatrix}$$
det(A+B) = -18
$$-18 \neq -8 + -8$$
Stimmt so wie ich das sehe. Habe es dann nochmal mit 2 anderen Matrizen versucht: Stimmte auch wieder.
Nun wurde ich misstrauisch. So leicht machts mir Mathe eigentlich nie. Also was ist da los? :D Oder stimmt der ganze Ansatz nicht?
2)
Ich hab folgende 3 Matrizen:
$$ A = \begin{pmatrix} -2 & -2 & -2 \\ -2 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}$$
$$ Q = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} -2 & 2 & -1 \\ -2 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & 2\end{pmatrix} $$
$$ R = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 5/3 \\ 0 & -1 & -5/3 \\ 0 & 0 & -2/3\end{pmatrix} $$
Zusätzlich habe ich die Information, dass A = QR.
a) Rechne nach, dass Q orthogonal ist, d.h. QQ^T = Einheitsmatrix.
Meine Lösung: Erst habe ich Q transponiert und dabei das 1/3 außen vor gelassen.
Dann habe ich Q * Q^t gerechnet und kam auf:
$$ QQ^T \begin{pmatrix} 9 & 0 & 0\\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix} $$
Wenn ich die dann durch 9 teilen würde (oder erst noch mit 1/3 multipliziere und dann durch 3 teile) erhalte ich die Einheitsmatrix. Stimmt das so?
b)
Begründen Sie ohne Matrix-Umformungen, dass det(A) = |2|.
Hier stehe ich auf dem Schlauch...
Würd mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte!